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2011年安徽省芜湖市一中自主招生特长生数学试卷(含答案解析)[1]

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特长生数学试卷 2010 年安徽省芜湖市一中自主招生
一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 1.若 x ﹣6x+1=0,则 x +x A.1 B.2
2 2 4
﹣4

的值的个位数字是( C.3 D.4



2.已知二次函数 y=2x 的图象不动,把 x 轴、y 轴分别向上、向右*移 2 个单位长度,那么在新的坐标系下抛物线 的解析式是( ) 2 2 2 2 A.y=2(x﹣2) +2 B.y=2x +8x+6 C.y=2x ﹣8x+6 D.y=2x +8x+10 3.已知直角三角形的周长为 14,斜边上的中线长为 3.则直角三角形的面积为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4.若 A.0 B.1 C.2 ,则 y 的最小值是( D.3 ,则 S△ ADE:S 四 )

5.如图,在锐角△ ABC 中,以 BC 为直径的半圆 O 分别交 AB,AC 与 D、E 两点,且
边形 DBCE

的值为(



A.

B.

C.

D.

6.如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 上的点,DE 交 AC 于 M,AF 交 BD 于 N;若 AF *分∠BAC, DE⊥AF; 记 , , ,则有( )A.m>n>p B.m=n=p C.m=n>p D.m>n=p

二、填空题(共 6 小题,每小题 7 分,满分 42 分) 2 2 2 2 7.已知 x +xy=3,xy+y =﹣2,则 2x ﹣xy﹣3y = _________ . 8.如图,有一种动画程序,屏幕上方正方形区域 ABCD 表示黑色物体甲,其中 A(1,1) ,B(2,1) ,C(2,2) , D (1, , 2) 用信号枪沿直线 y=2x+b 发射信号, 当信号遇到区域甲时, 甲由黑变白, 则当 b 的取值范围为 _________ 时,甲能由黑变白.

9.若关于未知数 x 的方程 _________ .

有两个不相等的实数根,则实数 p 的取值范围是

10.如图,DC∥AB,∠BAE=∠BCD,AE⊥DE,∠D=130°,则∠B= _________ 度.

1 11.如图,一个 5×5 的方格网,按如下规律在每个格内都填有一个数:同一行中右格中的数与紧邻左格中的数的差 是定值,同一列中上格中的数与紧邻下格中的数的差也是定值.请根据图中已填好的数,按这个规律将第 3 行填满 (填在图中) _________ . .

12.已知一个有序数组(a,b,c,d) ,现按下列方式重新写成数组(a1,b1,c1,d1) ,使 a1=a+b,b1=b+c,c1=c+d, d1=d+a,按照这个规律继续写出(a2,b2,c2,d2) ,…, n,bn,cn,dn) (a ,若 1000< n= _________ . 三、解答题(共 5 小题,满分 72 分) 13.已知二次函数 y=x ﹣2(m﹣1)x+2m ﹣2 (1)证明:不论 m 为何值,二次函数图象的顶点均在某一函数图象上,并求出此图象的函数解析式; (2)若二次函数图象在 x 轴上截得的线段长为 ,求出此二次函数的解析式. 14.如图,在△ ABC 中,AB=2,AC= ,∠A=∠BCD=45°,求 BC 的长及△ BDC 的面积. 15.某仓储系统有 20 条输入传送带,20 条输出传送带.某日,控制室的电脑显示,每条输入传送带每小时进库的 货物流量如图(1) ,每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(2) ,而该日仓库中原有货物 8 吨,在 0 时至 5 时, 仓库中货物存量变化情况如图(3) ,则在 0 时至 2 时有多少条输入传送带和输出传送带在工作在 4 时至 5 时有多少 条输入传送带和输出传送带在工作?
2 2

<2000,则

16.已知 p 为质数,使二次方程 x ﹣2px+p ﹣5p﹣1=0 的两根都是整数,求出 p 的所有可能值. 17.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 切于点 P,外公切线 AB 与连心线 O1O2 相交于点 C,A、B 是切点,D 是 AP 延长 线上的点,满足 .求: (1)cosD; (2) 的值.

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参考答案与试题解析
一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 1.若 x ﹣6x+1=0,则 x +x A.1 B.2 考点:完全*方公式。 专题:计算题。
2 2 4
﹣4

的值的个位数字是( C.3 D.4



分析:首先由 x ﹣6x+1=0,求得 x+ =6,然后由(x+ ) =x + 即可求得答案. 2 解答:解:∵x ﹣6x+1=0, ∴x+ =6, ∴(x+ ) =x + ∴x + ∵(x +
4 4
﹣4

2

2

+2,求得 x +

2

,再由(x +

2

) =x +

2

4

+2,

2

2

+2=36,

2

=34,
2

) =x +
4

2

4

+2=1156,

∴x +x =x +
﹣4

=1154.

∴x +x 的值的个位数字是 4. 故选 D. 点评:此题考查了完全*方公式的应用.解题的关键是注意(x+ ) =x +
2 2

+2 的应用.

2.已知二次函数 y=2x 的图象不动,把 x 轴、y 轴分别向上、向右*移 2 个单位长度,那么在新的坐标系下抛物线 的解析式是( ) 2 2 2 2 A.y=2(x﹣2) +2 B.y=2x +8x+6 C.y=2x ﹣8x+6 D.y=2x +8x+10 考点:二次函数图象与几何变换。 专题:探究型。 分析:此题相当于坐标系不动,将图象向下、向左分别*移两个单位. 2 解答:解:将 y=2x 的图象分别向下、向左分别*移 2 个单位得, 2 2 y=2(x+2) ﹣2=2x +8x+6. 故选 B. 点评:此题考查了二次函数图象与坐标变化,可将坐标移动转化为图象向相反的方向运动来解答. 3.已知直角三角形的周长为 14,斜边上的中线长为 3.则直角三角形的面积为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 考点:直角三角形斜边上的中线;三角形的面积;勾股定理。 专题:计算题。 分析:由∠ACB=90°,CD 是斜边上的中线,求出 AB=6,根据 AB+AC+BC=14,求出 AC+BC,根据勾股定理得出 AC +BC =AB =36 推出 AC?BC=14,根据 S= AC?BC 即可求出答案. 解答:解:∵∠ACB=90°,CD 是斜边上的中线, ∴AB=2CD=6, ∵AB+AC+BC=14, ∴AC+BC=8, 2 2 2 由勾股定理得:AC +BC =AB =36,
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1 ∴(AC+BC) ﹣2AC?BC=36, AC?BC=14, ∴S= AC?BC=7. 故选 C.
2

点评:本题主要考查对直角三角形斜边上的中线,勾股定理,三角形的面积等知识点的理解和掌握,能根据性质求 出 AC?BC 的值是解此题的关键. ,则 y 的最小值是( )

4.若

A.0 B.1 C.2 D.3 考点:二次根式的性质与化简。 专题:计算题。 分析:分别讨论 x 在不同的取值范围内 y 的最小值,然后综合各种情况,取 y 的最小值. 解答:解:当﹣1≤x≤0 时, y=﹣x+x+1+1﹣x=﹣x+2,此时 y 的最小值是 2; 当 0≤x≤1 时, y=x+x+1+1﹣x=x+2,此时 y 的最小值是 2; 当 x>1 时, y=3x,此时的最小值大于 3; 当 x<﹣1 时, y=﹣x﹣x﹣1﹣x+1=﹣3x,此时的最小值大于 3. 综上所述 y 的最小值为 2. 故选 C 点评:主要考查二次根式的性质和化简,必须考虑被开方出来的数为正数.

5.如图,在锐角△ ABC 中,以 BC 为直径的半圆 O 分别交 AB,AC 与 D、E 两点,且
边形 DBCE

,则 S△ ADE:S 四

的值为(



A.

B.

C.

D.

考点:相似三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质。 分析:连接 BE,由∠A 得余弦值可得到 AE、AB 的比例关系;易证得△ ADE∽△ACB,那么 AE、AB 的比即为两 个三角形的相似比,进而可求出两个三角形的面积比,也就能求出△ ADE、四边形 BDEC 的面积比. 解答:解:连接 BE; ∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BEC=90°;
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1 在 Rt△ ABE 中,cosA= ,即 = ;

∵四边形 BEDC 内接于⊙O, ∴∠ADE=∠ACB,∠AED=∠ABC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ =( )= ;
2

所以 S△ ADE:S 四边形 DBCE 的值为 . 故选 A.

点评:此题主要考查了圆内接四边形的性质以及相似三角形的判定和性质,能够将∠A 的余弦值转换为△ ADE、 △ ACB 的相似比,是解决此题的关键. 6.如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 上的点,DE 交 AC 于 M,AF 交 BD 于 N;若 AF *分∠BAC, DE⊥AF; 记 , , ,则有( )

A.m>n>p B.m=n=p C.m=n>p D.m>n=p 考点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质。 专题:综合题。 分析:根据已知条件推出△ ABF∽△AON,△ ACF∽△ABN,得出相似比;其次,通过求证 Rt△ AEH≌Rt△ AMH 推出 AE=AM,结合求证的相似三角形的对应角相等推出 BN=BF,然后,通过相似三角形的性质推出对应边得比相 等,组后结合相等关系 进行等量代换,求出结论 解答:解:DE⊥AF 于 H 点, ∵正方形 ABCD ∴∠ABF=∠AON=90°,∠ACF=45° ∵AF *分∠BAC ∴∠BAF=∠OAF ∴△ABF∽△AON,△ ACF∽△ABN ∴ ∵DE⊥AF ∴Rt△ AEH≌Rt△ AMH ∴AE=AM ∵∠ANO=∠BNF
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1 ∴∠AFB=∠BNF ∴BN=BF ∴ ∵AE=AM ∴ 即(m>n)

∵△ABF∽△AON ∴ ∵△ACF∽△ABN ∴ ∴ ∴ (即 n=p)

∴m>n=p

点评:本题主要考查相似三角形的判定及性质,等腰三角形的判定及性质,全等三角形的判定及性质.本题的关键 在于熟练地综合应用以上定理性质,找到等量关系进行代换. 二、填空题(共 6 小题,每小题 7 分,满分 42 分) 2 2 2 2 7.已知 x +xy=3,xy+y =﹣2,则 2x ﹣xy﹣3y = 12 . 考点:代数式求值。 2 2 2 2 分析:根据两个代数式 x +xy=3 和 xy+y =﹣2,可以求出 2x +2xy=6、3xy+3y =﹣6,然后两者相减即可求出所求的 结果. 2 解答:解:有 x +xy=3 可得, 2 2x +2xy=6 (1) , 2 有 xy+y =﹣2 得, 2 3xy+3y =﹣6 (2) , 根据分析, (1)﹣(2)可得, 2 2 2x ﹣xy﹣3y =6﹣(﹣6)=12. 点评:代数式中的字母表示的数没有明确告知,而是隐含在题设中.此题主要是对已知条件进行变形. 8.如图,有一种动画程序,屏幕上方正方形区域 ABCD 表示黑色物体甲,其中 A(1,1) ,B(2,1) ,C(2,2) , D(1,2) ,用信号枪沿直线 y=2x+b 发射信号,当信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则当 b 的取值范围为 ﹣3≤b≤0 时,甲能由黑变白.

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1

考点:正方形的性质;坐标与图形性质。 专题:计算题。 分析:若信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则就是直线 y=2x+b 与正方形有交点,结合图象求出 b 的取值范围. 解答:解:根据题意知, 若信号遇到区域甲时,甲由黑变白,则就是直线 y=2x+b 与正方形有交点, 故当直线经过 B(2,1)点时,b 有最小值, 1=4+b, b=﹣3, 当直线经过 D(1,2)点时,b 有最大值, 2=2+b, b=0, 故 b 的取值范围为﹣3≤b≤0. 故答案为﹣3≤b≤0. 点评:本题主要考查正方形的性质,把正方形与直线方程结合考查,不难但是做题考虑要周全.

9.若关于未知数 x 的方程 考点:无理方程;根的判别式。 专题:计算题。 分析:x 的方程 解答:解:∵ ∴△=1﹣4p>0,

有两个不相等的实数根,则实数 p 的取值范围是 0≤p<



有两个不相等的实数根,两边*方后根据△ >0 即可求出 p 的取值范围. ,x≥0,两边*方得:x ﹣x+p=0,
2

∴p< ,设两个根为:x1,x2,则 x1x2=p≥0, ∴实数 p 的取值范围:0≤p< , 故答案为:0≤p< . 点评:本题考查了无理方程及根的判别式,难度不大,关键是不要忽视 x≥0 的隐含条件.

10.如图,DC∥AB,∠BAE=∠BCD,AE⊥DE,∠D=130°,则∠B= 40 度. 考点:*行线的性质;多边形内角与外角。 分析:可连接 AC,得出 AE∥BC,进而利用同旁内角互补求解∠B 的大小. 解答:解:如图,连接 AC ∵AB∥CD,
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1 ∴∠DCA=∠BAC, 又∠BAE=∠BCD, ∴∠EAC=∠ACB, ∴AE∥BC, 在四边形 ACDE 中,∠D=130°,∠E=90°, ∴∠EAC+∠ACD=140°, 即∠EAB=140°, 又∠B+∠EAB=180°, ∴∠B=40°. 故应填 40.

点评:掌握多边形的内角和,能够利用*行线的性质求解一些简单的计算问题. 11.如图,一个 5×5 的方格网,按如下规律在每个格内都填有一个数:同一行中右格中的数与紧邻左格中的数的差 是定值,同一列中上格中的数与紧邻下格中的数的差也是定值.请根据图中已填好的数,按这个规律将第 3 行填满 (填在图中) 26,66,106,146 . .

考点:规律型:数字的变化类。 分析:设第三行数分别是 2x﹣186,1.5x﹣93,x,0.5x+93,则 下一行前三个为 x﹣93,0.5x+5,103,由此列方程 组解答即可. 解答:解:设第三行数分别是 2x﹣186,1.5x﹣93,x,0.5x+93,则下一行前三个为 x﹣93,0.5x+5,103, 因此得到方程 74+(0.5x+5)=3x﹣186, 解得 x=106, 因此这些数分别是:26,66,106,146. 故填 26,66,106,146. 点评:此题主要发现同一行,同一列中数的规律,列方程解答即可. 12.已知一个有序数组(a,b,c,d) ,现按下列方式重新写成数组(a1,b1,c1,d1) ,使 a1=a+b,b1=b+c,c1=c+d, d1=d+a,按照这个规律继续写出(a2,b2,c2,d2) ,…, n,bn,cn,dn) (a ,若 1000< <2000,则

n= 10 . 考点:规律型:数字的变化类。 专题:规律型。 分析: 分析可得: 1=a+b, 1=b+c, 1=c+d, 1=d+a, a1+b1+c1+d1=2b+2d+2c+2a, a b c d 则 进而的 a3+b3+c3+d3=4 (a+b+c+d) , a4+b4+c4+d4=8(a+b+c+d) ,…an+bn+cn+dn=2 (a+b+c+d) ;若 1000< 则 n=10. n 解答:解:an+bn+cn+dn=2 (a+b+c+d)
n

<2000,即 1000<2 <2000,

n

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1 若 1000<
n

<2000

即 1000<2 <2000 则 n=10. 点评:本题考查学生分析数据,总结、归纳数据规律的能力,要求学生要有一定的解题技巧.根据题中所给的材料 获取所需的信息和解题方法是需要掌握的基本技能. 三、解答题(共 5 小题,满分 72 分) 2 2 13.已知二次函数 y=x ﹣2(m﹣1)x+2m ﹣2 (1)证明:不论 m 为何值,二次函数图象的顶点均在某一函数图象上,并求出此图象的函数解析式; (2)若二次函数图象在 x 轴上截得的线段长为 ,求出此二次函数的解析式. 考点:抛物线与 x 轴的交点;二次函数的性质。 专题:探究型。 分析: (1)先根据二次函数的解析式求出其顶点坐标,而其顶点坐标为新函数上任意一点,即横坐标为 x=m﹣1, 2 纵坐标为 y=m +2m﹣3,整理即可得到所求函数的解析式; (2)根据根与系数的关系求出两根之积与两根之和的表达式,再将|x2﹣x1|=2 两边*方,转化为关于 m 的方程, 解答即可. 2 解答:解: (1)二次函数的顶点坐标为(m﹣1,m +2m﹣3) , 顶点坐标在某一函数的图象上, 即横坐标为 x=m﹣1, 纵坐标为 y=m +2m﹣3=(m﹣1) (m+3)=(m﹣1) (m﹣1+4)=x(x+4)=y=x +4x, 2 故不论 m 为何值,二次函数的顶点都在抛物线 y=x +4x 上; 分) (4 (2)设二次函数的图象与 x 轴交于点 A(x1,0) ,B(x2,0) , 由已知|x2﹣x1|=2 , 再利用根与系数的关系得,
2 2 2 2



又∵(x2﹣x1) =(x1+x2) ﹣4x1x2, 2 2 ∴12=4(m﹣1) ﹣4(2m ﹣2) , m=0 或﹣2, (10 分) 2 当 m=0 时,y=x +2x﹣2; 2 当 m=﹣2 时,y=x +6x+6. (14 分) 点评:此题考查了抛物线与 x 轴的交点及二次函数根与系数的关系,综合性较强,要求同学们有较强的分析能力. 14.如图,在△ ABC 中,AB=2,AC= ,∠A=∠BCD=45°,求 BC 的长及△ BDC 的面积.

考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理。 专题:证明题。 分析:作 CE⊥AB 于 E,根据勾股定理可求出 BE,CE 的长后最终求出 BC 的长,然后再过 D 作 DF⊥BC,交 CB 延长线于 F,并设 DF=CF=x,又 Rt△ DFB∽Rt△ CEB,可求出 BC 边上的高,从而求得三角形的面积. 解答:解:如图,作 CE⊥AB 于 E,

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1

则 CE=AE=

, ,

所以 BE=AB﹣AE=2﹣ 又 BC =CE +BE , 所以 BC=
2 2 2



再过 D 作 DF⊥BC,交 CB 延长线于 F,并设 DF=CF=x, 则 BF=x﹣BC=x+1﹣ , 又 Rt△ DFB∽Rt△ CEB, 所以 DF:BF=CE:BE,即 x: (x+1﹣ 所以 x= 所以 , . )= ,

点评:本题考查作辅助线构造直角三角形后用勾股定理求出各边长以及相似三角形的性质定理求解. 15.某仓储系统有 20 条输入传送带,20 条输出传送带.某日,控制室的电脑显示,每条输入传送带每小时进库的 货物流量如图(1) ,每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(2) ,而该日仓库中原有货物 8 吨,在 0 时至 5 时, 仓库中货物存量变化情况如图(3) ,则在 0 时至 2 时有多少条输入传送带和输出传送带在工作在 4 时至 5 时有多少 条输入传送带和输出传送带在工作?

考点:函数的图象。 专题:应用题;图表型。 分析:根据题意列出二元一次方程 13x﹣15y=2 和 12+13x﹣15y=0,并根据 x,y 的取值范围(x≤20,y≤20,且都是 正整数)可得出对应的答案. 解答:解:设在 0 时至 2 时内有 x 条输入传送带和 y 条输出传送带在工作,则 13x﹣15y=2,因为 x≤20,y≤20,且 都是正整数,所以 x=14,y=12; 设在 4 时至 5 时内有 x 条输入传送带和 y 条输出传送带在工作,则 12+13x﹣15y=0,因为 x≤20,y≤20,且都是正整 数,所以 x=6,y=6; 所以在 0 时至 2 时内有 14 条输入传送带和 12 条输出传送带在工作;在 4 时至 5 时内有 6 条输入传送带和 6 条输出 传送带在工作. 点评:主要考查了函数的图象的应用,解题的关键是根据图象得到相关的信息,根据题意列出方程,结合未知数的 实际意义求解.
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1 16.已知 p 为质数,使二次方程 x ﹣2px+p ﹣5p﹣1=0 的两根都是整数,求出 p 的所有可能值. 考点:根的判别式。 专题:计算题;分类讨论;判别式法。 2 2 分析:由于二次方程 x ﹣2px+p ﹣5p﹣1=0 的两根都是整数,所以其判别式为完全*方数,然后利用完全*方数的 性质和整数的性质进行分析,也结合 p 为质数分析得出 p=3 或 7,然后即可得到方程的形式,利用方程分析所求 p 值是否成立即可解决问题. 解答:解:∵已知的整系数二次方程有整数根, 2 2 ∴△=4p ﹣4(p ﹣5p﹣1)=4(5p+1)为完全*方数, 从而,5p+1 为完全*方数 2 设 5p+1=n ,注意到 p≥2,故 n≥4,且 n 为整数 ∴5p=(n+1) (n﹣1) , 则 n+1,n﹣1 中至少有一个是 5 的倍数,即 n=5k±1(k 为正整数) 2 ∴5p+1=25k ±10k+1,p=k(5k±2) , 由 p 是质数,5k±2>1, ∴k=1,p=3 或 7 当 p=3 时,已知方程变为 x ﹣6x﹣7=0,解得 x1=﹣1,x2=7; 2 当 p=7 时,已知方程变为 x ﹣14x+13=0,解得 x1=1,x2=13 所以 p=3 或 p=7. 点评:此题主要考查了一元二次方程的判别式及方程的整数根的性质,比较难,对于学生分析问题,解决问题的能 力要求比较高,是一个竞赛题,*时注意训练. 17.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 切于点 P,外公切线 AB 与连心线 O1O2 相交于点 C,A、B 是切点,D 是 AP 延长 线上的点,满足 求: (1)cosD; (2) . 的值.
2 2 2

考点:相切两圆的性质;切线长定理;*行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义。 专题:计算题;几何综合题。 分析: (1)过 P 作两圆的内公切线交 AB 于 Q,连接 PB.得到 QA=QP=QB,根据∠APB=90° △ CAD∽△PAB,推出∠ACD=∠APB=90°设 AC=4t,AD=5t,则 CD=3t,即可求出答案; (2)在 Rt△ APB 中,设 AP=8a,AB=10a,则 PB=6a.作 O1E⊥AP 于 E,O1F⊥BP 于 F,得到 根据∠FO2P=∠APB=∠D,推出 Rt△ PFQ2∽Rt△ ACD,得到 求 ,根据相似三角形的性质即可求出答案. ,FP=3a, = ,得到

,根据 O1E∥PF,得到△ EO1P∽△FPO2,

解答:解: (1)过 P 作两圆的内公切线交 AB 于 Q,连接 PB.
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1 ∵AB 是两圆的外公切线, ∴QA=QP=QB, ∴∠APB=90° ∵ ∴△CAD∽△PAB, ∴∠ACD=∠APB=90° 在 Rt△ ACD 中,令 AC=4t,AD=5t,则 CD=3t, ∴ 答:cosD= . , ,

(2)解:在 Rt△ APB 中,设 AP=8a,AB=10a,则 PB=6a. 作 O1E⊥AP 于 E,O1F⊥BP 于 F, 则 ,FP=3a,

在 Rt△ PO2F 中,∠FO2P=∠APB=∠D, ∴Rt△ PFQ2∽Rt△ ACD, ∴ ,

又 O1E∥PF,∠EO1P=∠EPO2, ∴△EO1P∽△FPO2, ∴ ,





答:

的值是



点评:本题主要考查对切线长定理,*行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定,相切两圆的性质,锐角 三角函数的定义等知识点的理解和掌握,熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键,题型较好,综合性强,难 度适中.

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