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第四章 金融风险管理的主要工具— 金融衍生品与定价_图文

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第四章 金融风险管理的主要工具— 金融衍
生品与定价

第一节 金融远期与金融期货的概念与定价 第二节 金融互换的概念与定价 第三节 金融期权的概念与定价 第四节 信用衍生品的概念与定价

第一节 金融远期与金融期货的概念与定价
一、金融远期合约的概念与分类 (一)金融远期合约的概念 1、定义: 金融远期合约是指双方约定在未来的某一确定时间,按确定的价 格买卖一定数量的某种金融资产的合约。 远期合同的多头:购买金融产品的一方,称为购买远期;远期合同 的空头:出售金融产品的一方,称为销售远期。 每一种远期合约都是唯一的(客户定做),而且不必要在交易 所交易; 2、远期合约的应用 锁定购买或出售商品的未来价格,防范价格风险。 3、远期合约的要素 – 产品交割的数量和质量; – 交割价格(K) – 交割时间(T) – 交割地点(L)

4、远期合约的特点(优缺点)
(1)远期合约是非标准化合约,具有较大的灵活性; 缺点: (2)市场效率低: (3)流动性较差: (4)违约风险较高: 在防范市场风险的同时,本身存在违约风险与流动 性风险! 如何防范这些风险?这是所有衍生品存在的共同特 点!

(二)金融远期合约的种类
金融远期合约主要有:远期利率协议、远期外汇合约等 1、远期利率协议 (1)远期利率协议的含义 远期利率协议是买卖双方同意从未来某一商定的时期开始在某 一特定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表 示的名义本金的协议。 远期利率协议的买方是名义借款人,其订立远期利率协议的主 要目的是规避利率上升的风险或投机;卖方则是名义贷款人, 其订立远期利率协议的主要目的是规避利率下跌的风险或投 机。 ?名义?本金是指借贷双方不交换本金,只是在结算日根据本 金和协议利率与参考利率之间的差额,计算结算金,由交易 一方交于另一方。

(2)重要术语
FRA中,一些常用的术语包括: 合同金额(名义本金)、合同货币、交易日、结算日、确定日、 到期日、合同期、合同利率、参照利率、结算金等。 2天 延 后 期 2天 合 同 期

交 起 确 结 易 算 定 算 日 日 日 日 图2-1 远期利率协议流程图

到 期 日

FRA的表示与题例
假定1999年10月5日,双方同意成交一份 1 ? 4 名义 金额为100万$,合同利率为4.75%的远期利率协议。 1 ? 4 指起算日与结算日之间为1个月,起算日 其中, 与到期日之间为4个月,交易日与起算日之间一般 为2天。本例中,交易日为10月5日,起算日为10 月7日,结算日为11月8日( 11月7日为星期天), 到期日为2000年2月8日,合同期为1999年11月8日 到2000年2月8日(92天)。结算日前的两个交易 日为( 11月5日)确定日,确定参考利率,参考 利率通常为LIBOR,假定为5.5%.

(3)结算金的计算
计算公式:

(3.1) 式中:rr表示参照利率,rk表示合同利率,A表示合同金额、D 表示合同期天数,B表示天数计算惯例(如美元为360天,英 镑为365天)。

?rr ? rk ? ? A ? D B 结算金 ? ? 1 ? ?rr ? D B

如上例,

92 ?0.055? 0.0475? ? 100? 360 结算金 ? 92 ? 1 ? ?0.055? 360

? 1890 .10美元

(二)远期外汇合约
1、远期外汇合约的含义:
远期外汇合约是指双方约定在将来某一时间按约定的远期汇率 买卖一定金额的某种外汇的合约。 双方在签定合同时,就确定好了将来要进行交割的远期汇率 (无论当时的汇价如何变,都应按此汇率交割)。交割时, 名义本金不交割,只交割合同中规定的远期汇率与当时的即 期汇率之间的差额。

2、分类
按照远期的开始时期划分,远期外汇合约分为: 直接远期外汇合约:直接从现在开始计算(较为简单); 远期外汇综合协议:从未来的某个时点开始计算。如1*4的远 期外汇综合协议是指从起算日后的一个月(结算日)开始计 算的为期3个月的远期外汇综合协议。

3、远期汇率与即期汇率的关系
F ? Se
( r ? r f ) ?T ?t ?

(3.2)

其中,F表示T时刻交割的直接远期汇率,S表示t时 刻的即期汇率, r 表示本国的无风险连续复利利 率,r f 表示外国的无风险连续复利利率。 远期差价: (3.3) ?r ? r ??T ?t ?
W ? F ?S ?S e

?

f

?1

?

4、远期外汇综合协议定义
? 远期外汇综合协议是指双方约定买方在结算日按照 合同中规定的结算日直接远期汇率用第二货币向卖 方买入一定名义金额的原货币(Primary Currency), 然后在到期日再按合同中规定的到期日直接远期汇 率把一定名义金额原货币出售给卖方的协议(将原 货币看成一种资产,这种交易即为先买后卖,赚取 价差!)。 ? 实际上是名义上的远期对远期掉期交易。

4、远期外汇综合协议定义
远期外汇综合协议是对未来远期差价进行保值或投机而 签订的远期协议,这是因为: Wk ? K * ? K W ? F* ? F

Wk ? WR ? K * ? FR ? ?K ? FR ?
*

?

?

R

R

R

式中, WK 表示合同签订时确定的合同期内远期差价,它等 于合同中规定的到期日T*时刻直接远期汇率?K * ?与合同中 规定的结算日(T时刻)直接远期汇率(K)之间的差额, 而WR表示确定日确定的合同期的远期差价,它等于确定 日确定的到期日直接远期汇率(FR* )与确定日确定的结 算日直接远期汇率( FR ) 之间的差额。

5、远期外汇综合协议的交易流程和结算
(1)交易日:确定结算日、到期日将兑换的名义本金As 、Am, * 相关的直接远期汇率K与 K ,合同远期差价 Wk,计算第二货 币的名义金额。 (2)确定日:确定即期结算汇率 ?F ? 、到期日远期结算汇率 ?FR* ? 和远期差价 ?WR ? ,并通过比较直接远期汇率、合同远期差价 和即期结算汇率、远期结算差价,算出结算金。 (3)结算金的计算 根据对结算金的计算不同,将远期外汇综合协议分为: 汇率协议(Exchange Rate Agreement,ERA)和远期外汇协议 (Forward Exchange Agreement,FXA)。
R

? 汇率协议
汇率协议的结算金计算公式为:
? WK ? WR ? 结算金 ? AM ? ? D ? ? 1 ? i ? B ?? ?

(3.7)

AM 表示原货币到期日名义本金数额, i 表示结 式中, 算日第二货币期限为结算日到到期日的无风险利 率,D表示合同期天数,B表示第二货币计算天数 通行惯例(360天或365天)。

? 远期外汇协议
远期外汇协议的结算金计算公式为:
? K* ? F * ? R 结算金 ? AM ? ? ? ? AS ? ?K ? FR ? D ? ?1 ? ?i ? B ?? ?

(3.8)

式中 AS 表示原货币结算日的名义本金数额,AM表示 原货币到期日的名义本金数额,在大多数远期外汇 综合协议中 AM ? AS 。 尽管名义本金都是由原货币来定义的,但结算金都是 由第二种货币表示的。如果结算金为正,则表示卖 方支付给买方;反之,如果结算金为负,则表示买 方支付给卖方。

二、 金融期货的概念与分类
1、金融期货合约 金融期货合约是指协议双方同意在约定的将来某个 日期按约定的条件(包括价格、交割地点、交割方 式)买入或卖出一定标准数量的某种金融工具的标 准化协议。 合约中规定的价格称为期货价格(Futures Price)。 金融期货市场:指对金融证券,以公开竞价方式买 卖标准化金融期货合约,实行远期交割的有组织的 集中交易场所。 2、金融期货合约的种类 按标的物不同,金融期货可分为利率期货、股价指数 期货、外汇期货等。

3、金融期货交易的特征
? 期货合约均在交易所进行,交易双方不直接接触, 而是各自跟交易所的清算部或专设的清算公司结算。 ? 期货合约的买者或卖者可在交割日之前采取对冲交 易以结束其期货头寸(即平仓),而无须进行最后 的实物交割。 ? 期货合约的合约规模、交割日期、交割地点等都是 标准化的。 ? 期货交易是每天进行结算的,而不是到期一次性进 行的,买卖双方在交易之前都必须在经纪公司开立 专门的保证金账户。 ? 一般不存在信用风险和流动性风险

三、 金融远期(期货)的定价
(一)有关符号 T:远期与期货合约的到期时间,单位为:年。 t:现在时间,单位为:年。T-t表示远期与期货合约中 以年为单位表示的剩余时间。 S:标的资产在时间t的价格;St为标的资产在时间T 时的价格; K:远期合约中的交割价格; f:远期合约多头在t时刻的价值 F:标的资产的远期理论价格或期货理论价格,分别称 为远期价格或期货价格。 r: T 时到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率 (年利率)。 假定远期不存在违约风险!

(二)远期合约(期货)的定价
1、标的资产的分类 (1)无收益资产:如贴现债券; (2)支付已知现金收益的资产:如附息债券和支付已 知现金红利的股票、黄金、白银等; (3)支付已知收益率的资产:如外汇、股价指数、远 期利率协议、远期外汇综合协议等;

2、无收益资产远期(期货)合约的定价
(1)基本原理: 无套利定价理论。 (2)无收益资产远期(期货)合约的定价方法 构建如下两个组合: 组合A:一份远期合约多头(f),一笔数额为Ke-r(T-t)的现金 组合B:一单位标的资产 在T时刻,两种组合都等于1单位标的资产,这两种组合在t时 刻的价值相等,即: f + Ke-r(T-t) =S, f = S- Ke-r(T-t) 在市场均衡条件下(无套利机会), f = 0, k = F 则有: F = Ser(T-t) 如果上式不成立时,市场将出现套利机会,市场不均衡的。

无收益资产远期(期货)合约的定价
(1)若F > Ser(T-t) ,套利者可按无风险利率r借入S现金, 期限为T-t。用S购买一单位的标的资产,同时卖出一 份该资产的远期合约,交割价为F, 这样,在T时刻可 实现[F – Ser(T-t)]的无风险利润。 (2)若F < Ser(T-t),套利者可卖空标的资产,将所得收 入以无风险利率r进行投资,期限为T-t。同时买进一 份该资产的远期合约,交割价为F, 这样,在T时刻套 利者可实现[Ser(T-t) – F]的无风险利润。 套利使期货市场价格与理论价格一致,市场恢复均 衡。

例:
设一标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6 个月的远期合约多头,其交割价为$960, 6个月 的无风险利率r为6%,该债券的现价为$940, 求远期合约多头的价值。
f ? S ? Ke r (T ?t ) ? 940? 960e ?0.06?0.5 ? 8.37

2、支付已知现金收益资产远期(期货)

合约的定价
设现金收益的现值为I(黄金、白银的I值为负), 构建如下两 个组合: 组合A:一份远期合约多头(f),一笔数额为Ke-r(T-t)的现金 组合B:一单位标的资产, 利率为无风险利率,期限为T-t,本 金为I的负债。 在T时刻,两种组合都等于1单位标的资产,这两种组合在t 时刻的价值相等,即: f + Ke-r(T-t) =S-I ① f =(S-I)-Ke-r(T-t) 在市场均衡条件下(无套利机会), f = 0, k = F ② F =(S-I)er(T-t) 当等式②不成立时,市场将出现套利机会,是不均衡的。

支付已知现金收益资产远期(期货)合
约的定价
当等式②不成立时,市场将出现套利机会,是不均衡的。

(1)若F >(S-I)er(T-t) ,套利者可按无风险利率r借入S 现金,期限为T-t。用S购买一单位的标的资产,同 时卖出一份该资产的远期合约,交割价为F, 这样, 在T时刻,他还本付息Ser(T-t),本利收入Ier(T-t),标的资产 交割的收入为F,可实现[F–(S-I)er(T-t)]的无风险利 润。 (2)若F <(S-I)er(T-t),套利者可卖空标的资产,将所得 收入以无风险利率r进行投资,期限为T-t。同时买进 一份该资产的远期合约,交割价为F, 这样,在T时刻 套利者可得到本息收入Ser(T-t) ,付现金F换得一单位 标的资产,归还Ier(T-t)现金收益给原所有者,实现 [(S-I)er(T-t) – F] 的无风险利润。

例:
例1、设6个月与12个月的无风险年利率分别为9%和10%,而一 种十年期债券现货价格为990元,该债券一年期远期合约的 交割价为1001元,该债券6个月与12个月后都将收到60元的利 息,且第二次付息日在远期合约交割日之前,求远期合约多 头的价值。

例2、设黄金的现货价格为450$/盎司,其存储成本为2$/盎司, 年底支付,无风险年利率为7%,求一年期黄金的期货价格。

3、支付已知收益率资产远期(期货)合 约的定价
构建如下两个组合: 组合A:一份远期合约多头(f),一笔数额为Ke-r(T-t)的 现金; 组合B:e - q(T-t)份证券,并且所有收益再投资于该证券。 其中q为现货资产按连续复利计算的已知收益率。 在T时刻,两种组合都等于1单位标的资产,这两种组 合在t时刻的价值相等,即: f +Ke - r(T-t) = Se - q(T-t) f = Se - q(T-t) – Ke - r(T-t) 在市场均衡条件下(无套利机会), f = 0, k = F 则上式为: F = Se (r -q)(T-t) 当等式不成立时,市场将出现套利机会,是不均衡 的。

例:
设S&P500指数现在的点数为1000点,该指数所 含股票的红利收益率预计为5%,无风险年利 率为10%,3个月期S&P500指数期货的市价为 1080点,求该期货合约多头的价值和期货的 理论价格。
假设远期合约不存在信用风险和流动性风险! 问题:如果存在信用风险和流动性风险,如何定价?不能使用 无风险利率。

第二节 金融互换的概念与定价
一、金融互换的基本概念 1、金融互换合约 (1)定义:互换合约是有关双方约定在将来某段 时期内根据合约条款交换一系列现金流的一种协议。 (2)产生的原因:是双方对利率或汇率变化方向 或幅度的看法不一致。 (3)金融互换的主要目的:是管理利率或汇率风 险。 2、金融互换的基本类型: 利率互换与外汇互换 3、互换的基本原理:比较优势理论

二、金融互换的基本类型
1、利率互换
利率互换,也称为固定利率与浮动利率互换,这是一种合约 性的互换,是指双方同意在未来的一定期限内根据同种 货币的同样的名义本金交换现金流,其中一方的现金流 根据浮动利率计算出来,而另一方的现金流根据固定利 率计算。互换的期限通常在2年以上,有时甚至在15年以 上。 利息的支付是根据名义金额进行的,名义金额在互换时不交 换。 支付的固定利息,交易双方在交易时都知道;作为交换,浮 动利率支付者,支付浮动利息给对方,浮动利息是随着 短期利率指数的变化而变化的。 互换一般有专门的互换市场。

利率互换过程中的现金流交换图:
A SWAP:
Fixed Rate x Notional Principal ----------------------------------------->

Fixed-rate payer

Floating-rate payer

<-----------------------------------------Floating Rate x Notional Principal 交易日(trade date):交易双方签定合约的时间(进入互换合 约); 有效日(effective date):开始计算利息的时间。 结算日(settlement date):交易双方交换利息流的时间(履约 的时间); 到期日(maturity date): the date on which the payments cease.

2、货币互换
货币互换(Currency Swaps)是将一种货币 的本金和固定利息与另一货币的等价本金 和固定利息进行交换。 货币互换的主要原因是双方在各自国家中的 金融市场上具有比较优势。

3、实例
例1、市场提供给A、B两公司的借款利率为: 固定利率 浮动利率 A公司 10.00% 6个月期LIBOR+0.30% B公司 11.20% 6个月期LIBOR+1.00% 假定A、B两公司都想借入5年期的1000万美圆的借款, A公司想 借入与6个月期相关的浮动利率借款, B想借入固定利率借款, 但两家公司由于其信用等级不同,故市场向他们提供的利率 也不同。 若采用互换的方法,即A公司按固定利率借款, B公司按浮动利 率借款,然后再交换,若不计交换费用,则两家公司可节约 利率为: ( LIBOR+0.30% + 11.20% )-( 10.00%+ LIBOR+1.00% )= 0.50% (互换利益)

我们假定双方各分享一半的互换利益,则A公司的实际借款利 率为:( LIBOR+0.30% -0.25%)= LIBOR+ 0.05% B公司的实际借款利率为: 11.20% - 0.25%= 10.95%。 这种结果的出现是因为存在比较优势: 11.20%- 10.00% >(LIBOR+1.00%)-( LIBOR+0.30% ) 则其流程图可表示为:

LIBOR的浮动利率

A公司
10%的固定利率 9.95%的固定利率

B公司
LIBOR+1%浮动利率

例 2、
Suppose that on September 15, 1998, two couterparties enter into a interest rate swap that begins on September 22, 1998. The swap has a maturity of two years. Thus, the trade date of the swap is September 15, 1998, the effective date is September 22, 1998, and the maturity date is September 22, 2000. The notional face value of the swap is $10 million. Assuming the current yield to maturity on this note is 10 percent, the fixed rate payments are at a 10.5 percent rate. The floating-rate payer agrees to pay the six-month LIBOR. Payments will be swapped every six months.

分析 (1)互换利率是提前确定的: 如第一次付款,是有效期后的6个月,利率是在有效期的这一 天根据短期利率指数确定的;下一次付款时,其利率是根据 有效期后6个月的短期利率指数确定的。这样,交易双方在付 款前就提前知道下一次要交换的利息数。 第一次付款是在有效期后6个月,即March 22, 1999;这一天: 支出固定利息的一方支出: (0.105 × 10,000,000)// 2 = $525,000(在所有交换日均相同); 支出浮动利息的一方支出: (0.08×10,000,000) / 2 = $400,000 ( LIBOR rate:8% ,在 September 22, 1998已经确定),其净收入为 $125,000

A POSSIBLE payment schedule:

当浮动利息下跌时,支出固定利息的一方将损失,当浮动利息 上升时,支出固定利息的一方将获利 支出固定利息的一方相当于LIBOR FUTURES or FORWARD CONTRACTS的空头(The prices of futures are opposite moving to the interest rate.) 支出浮动利息的一方相当于LIBOR FUTURES or FORWARD CONTRACTS的多头。

例3 (货币互换)
假设市场向A、B公司提供的借款利率 美元 英镑 A公司 8.0% 11.6% B公司 10.0% 12.0% 假定A公司想借入5年期的1000万英镑的借款, B想借 入5年期的1500万美元借款,英镑与美元的汇率为: 1英镑=1.5000美元。两家公司由于其信用等级不同, 故市场向他们提供的固定利率也不同。 若采用互换的方法,即A公司按固定利率借款美元 , B公司按固定利率借款英镑,然后再交换,若不计 交换费用,则两家公司可节约利率为: ( 10.0%美元+ 11.60%英镑)-( 8.0%美元+12.0%英 镑)=2 .0%美元-0.40%英镑=1 .6% (互换利益)

我们假定双方各分享一半的互换利益,若不考虑本金问题, 则A公司的实际借款利率为: ( 11.60% -0.8%)= 10.80% B公司的实际借款利率为:10% - 0.8%= 9.2%。 这种结果的出现是因为存在比较优势: 10.0%- 8.0% >12.0%-11.6% ) 货币互换可用下面的流程图来表示:

10.8%英镑借款利息

A公司
8%美元借款利息 8%美元借款利息

B公司
12%英镑借款利息

4、其它互换
(1)交叉货币利率互换:是利率互换和货币互换的 结合,它是以一种货币的固定利率交换另一种货币 的浮动汇率。 (2)增长型互换、减少型互换和滑道型互换。 (3)基点互换:双方都是浮动利率,只是两种浮动 利率的参照利率不同 。 (4)可延长互换和可赎回互换 (5)零息互换:是指固定利息的多次支付流量被一次 性的支付所取代,该一次性支付可以在互换期初也 可在期末。 (6)后期确定互换:其浮动利率是在每次计息期结 束之后确定的。

4、其它互换
(7)差额互换:是对两种货币的浮动利率的现金流量 进行交换,只是两种利率的现金流量均是按同种货 币的相同名义本金计算。 (8)远期互换:是指互换生效日是在未来某一确定 时间开始的互换。 (9)互换期权:从本质上属于期权而不是互换,该 期权的标的物为互换。 (10)股票互换:是以股票指数产生的红利和资本利 得与固定利率或浮动利率交换。

三、 金融互换的定价
(一)互换均衡定价方法 1、基本思路 根据协议,互换合约在签约时的价格为0。所以互换中,浮动 现金流一方的价值与固定现金流一方的价值相同。 互换利率是指到期日与互换协议到期日相等的债券的票面利率 (the swap rate is the rate of a par bond with maturity equal to the maturity of the swap.) 在互换合约签定时,互换双方交易情况如下:

2、互换中浮动现金流的估计
互换中浮动现金流的定价为其面值。
(1)只有一期的情况
P0 ? FV (1 ? LIBOR ) ? FV 1 ? LIBOR

(2)有多期的情况 类似于单期的情况,采用后推方法来定价

3、Swap Curve
互换曲线也称为同业拆借利率曲线(Libor curve)。 Libor是国际大投资银行的短期融资成本,而互换利率是大投 资银行的长期融资成本。我们可以应用1个月到18个月的 Libor和2年到30年的互换利率画出票面利率曲线( Par yield curve ),即国际大金融机构融资成本的期限结构。市场参 与者称此曲线为Libor curve or Swap Curve(互换曲线). 互换利率通常可分为两部分,如: 10年期的互换利率=基准国债利率+10年互换利差 6.5% = 5.8% + 70bp’s

4、根据Libor 曲线计算互换利率
假设已知半年、一年、一年半及2年的LIBOR利率如下: Maturity 6 months 12 months 18 months 24 months LIBOR 6% 6.2% 6.4% 6.6% 求期限为两年的利率互换协议中固定利率? 我们知道,在利率互换开始时,互换的价值为0,即互换中固定收益现金流 的现值为面值。这意味着:

因此,这个互换中的固定利率为: 6.5838%. 也可以进行相反的计算,即应用互换利率计算均衡的Libor curve 。(计算 过程为前推方法。这里我们已知6个月的 Libor。)

(二)利用债券组合定价方法
1、基本思想 无论是利率互换还是货币互换,均可以看成是一个债券的多 头与一个债券空头的组合,因此,可以利用债券组合定价为 互换定价。 这里, 利率互换相当于是一个固定利率债券与一个浮动利率 债券的组合;货币互换相当于是一个本币固定利率债券与一 个外币固定利率债券的组合; 2、货币互换的定价 例如,A、B公司在2003年10月1日签定了一份5年期的货币互 换协议,合约规定A公司每年向B公司支付11%的英镑利息, 并向B公司收取8%的美元利息,本金分别为1000万英镑和 1500万美元。 A公司的现金流如下。 A公司持有的互换头寸可以看成为一份年利率为8%的美元 债券多头与一份年利率为11%的英镑债券空头的组合。

货币互换中A公司现金流(百万)
日期
2003.10.1 2004.10.1 2005.10.1 2006.10.1 2007.10.1 2008.10.1

美圆现金流
-15 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2

英镑现金流
+10 -1.1 -1.1 -1.1 -1.1 -1.1
? BD ? S0 BF

收入本币、支出外币一方的互换价值为: Vswap

收入外币、支出本币一方的互换价值为: Vswap

? ?BD ? S0 BF

定价分析
? 假设1英镑=1.5美元,则
BD ? 120? (e ?0.08?1 ? e ?0.08?2 ? e ?0.08?3 ? e ?0.08?4 ? e ?0.08?5 ) ? 1500? e ?0.08?5 ? 1480 .5 BF ? 110? (e ?0.11?1 ? e ?0.11?2 ? e ?0.11?3 ? e ?0.11?4 ? e ?0.11?5 ) ? 1000? e ?0.11?5 ? 977.2
Vswap ? BD ? S0 BF ? 1480 .5 ? 1.5 ? 977.2 ? 14.7

? 即A公司持有的互换头寸的价值为14.7万美圆 ? 注:此例中的利率期限结构是水平的!

3、利率互换的定价
用公式表示为:
Vswap ? B fix ? B fl Vswap ? ?B fix ? B fl

实 例
假定在一笔互换中,一金融机构支付6个月的 LIBOR,同时收取8%的年利率(每半年支付一 次),名义本金为1亿元,互换还有1.25年的期 限。3、9、15 个月的 LIBOR(连续复利)分别 为10%、10.5%、11%,上一次支付的6个月的 LIBOR为10.2%,求金融机构持有互换的价值。
Bfix ? 4 ? (e?0.1?0.25 ? e?0.105?0.75 ? e?0.11?1.25 ) ?100? e?0.11?1.25 ? 0.9824 (亿元)

B fl ? (100? 5.1) ? e?0.1?0.25 ? 1.0251 (亿元)

金融机构持有互换的价值为:
Vswap ? B fix ? B fl ? 0.9824? 1.0251? ?0.0427 (亿元)

(三)远期估值法***
如:利率互换定价,因为远期利率协议是一些在未来 某个时刻开始的某个确定时期所使用的确定利率协 议,利率互换可以分解为一系列远期利率协议。 通过计算FRA下所付利息与应用远期利率所支付的 利息之间差值的现值可以估算FRA的值。由于互换 是一系列远期利率协议的组合,通过假设远期利率 是可实行的,可以估算互换的价值。过程是: (1)对决定互换现金流的每一个LIBOR利率,计算 远期利率; (2)假设LIBOR利率将等于远期利率,计算互换现 金流; (3)设定互换价值等于这些现金流的现值。

问题
? 上述互换定价是在交易双方没有违约的前 提下进行的,如果存在违约,如何在定价中反 映? ? 如果其中一方有违约可能性,而另一方无 违约可能性,有违约可能性一方的互换又 有价值,它有转让的可能(即流动性), 在这种情况下又如何定价?

第三节 金融期权的概念与定价
一、金融期权的基本概念 (一)期权的含义 1、期权与期权交易 (1)期权:是指它的持有人拥有在未来某一特定时 间内以特定的价格买入或卖出某种特定商品的权利。 它是通过期权合约来规定的。 (2)期权合约是一种赋予期权购买者在规定的有效 期内以规定的价格买入或卖出一定数量某种资产权 利的合约。 (3)期权交易是以这种权利为交易对象的交易,即 期权合约的交易。

2、金融期权交易者
(1)期权的买方 ? 含义: ? 期权买方的权利和义务 卖出期权、让期权过期、执行期权(执行期权可赢利时), 期权买方只有权利而无义务。 (2)期权的卖方 ? 含义: ? 期权卖方可以做以下三件事之一用于平仓(了结头寸): 买回期权、如果期权买方让期权过期,则期权卖方亦放弃 期权的执行、如果期权买方执行期权,那么期权卖方必 须按期权条款执行期权。期权卖方只有义务而无权利

3、金融期权的要素
(1)到期日: 指期权合约的最后有效日,此后,此期权合约 已不存在。 (2)协议价格(履约价、执行价) 指期权合约规定的,期权购买者在执行期权时 所实际执行的价格,即期权购买者向期权出售者 买进或卖出一定数量某种资产时的价格。 (3)期权费: 期权购买者为获得期权合约所赋予的权利向期权 出售者支付的费用。无论期权购买者是否执行期 权,期权费均不退还。

4、金融期权的执行
(1)当期权购买者执行买权时,他支付执行价, 得到标的资产; (2)当期权购买者执行卖权时,他交出标的资产, 得到执行价; (3)当期权出售者要求执行买权时,他交出标的 资产,得到执行价; (4)当期权出售者执行卖权时,他支付执行价, 得到标的资产;

(二)期权的分类
1、按期权购买者的权力分:看涨期权(买权)和看跌 期权(卖权) 2、按履约时间不同分类: 欧式期权(到期日才执行)、美式期权(到期日前 的任何时间均可执行) 3、按标的物不同分类: (1)现货期权:外汇期权、利率期权、股票期权、 股价指数期权( One contract is for 100 times the index. Settlement is for cash) (2)期货期权(Deliverable is a futures contract plus the difference between the futures price and the exercise price.) 外汇期货期权、利率期货期权、股价指数期货期权

(二)期权的分类(2)
4、按有无担保分类: 有担保看涨期权(期权出售者拥有该期权合约规定的 标的资产,且放于经纪人处,风险小) 无担保看涨期权 5、场内期权与场外期权 6、嵌入期权 指期权是另一种证券的一部分( callable bonds ) 7、按期权内在价值分类: 实值期权(In-the-money option)、虚值期权(Out-ofthe-money option )、平价期权(AT-THE-MONEY OPTION )

(三)金融期权市场的交易制度
1、标准化合约:交易单位(美国): (1)期货期权:一张相应的期货合约;(2)股票期权:100股 标的股票(3)股指期权:股指*100 (4)外汇期权:CBOT,与相应的外汇期货交易单位相同;费城 证交所,相应的外汇期货交易单位一半; (5)利率现货期权:与相应的利率期货交易单位相同。 2、保证金制度: 卖方缴保证金,买方无须缴 3、履约方式 (1)对冲:买方主动、随机抽取卖方 (2)行使权利:现货资产期权:现货交收;指数现货期权:现 金交收;期货期权:双方由期权关系转为期货关系(Deliverable is a futures contract plus the difference between the futures price and the exercise price.) (3)放弃权利 4、期权市场结构 期权交易所、结算公司、经纪公司、交易者(套期保值者、套 利者、投机者)

5、金融期货与期权的区别
1、权利义务的对称性不同 2、履约的保证不同 3、现金流转不同 4、盈亏特点不同 5、标的物不同 6、保值效果不同 7、买卖匹配不同 8、标准化不同

二、金融期权的基本策略
1、到期日期权的盈利计算 (1)看涨期权到期日的价值: C(T) = max[0,S(T)-K] (2)看跌期权到期日的价值: P(T) = max[K-S(T),0] (3) 期权卖方的价值是买方盈利的相反数 注意:期权买方的盈利为非负(没有考虑期权费)

2、金融期权的基本策略
(1) Long Call

payo ff

Underlying Asset Price at Expiration

(2) Short Call
payo ff

Underlying Asset Price at Expiration

(3) Long Put
payo ff

Underlying Asset Price at Expiration

(4)Short Put
payo ff

Underlying Asset Price at Expiration

(5)Payoff of a Bull Spread
payo ff

Underlying Asset Price at Expiration

Bull spread - buy a call with low strike sell another call with high strike.

3、考虑期权费的期权盈亏
(1)买入看涨期权
盈 盈亏分析 MP X ①S ≤ X 亏损 ML = C ② X < S < X + C 亏损减少 ③S = X+C 盈亏均衡 ④S>X+C 盈利MP=[S- ( X+C)]

0

X=85 ML=2

BEP=87

ST





X=85 0
1 BEP= 83 8

ML+

7 1 8

ST (2)买入看跌期权 盈亏分析: ①S?≥X 亏损 ML=C ②X〉S 〉X-P 亏损减少 ③S=X-P 盈亏均衡 ④X〈X-P 盈利MP=X-P



(3)卖出看涨期权



①ST≤X 盈利MP+C ②X〈ST〈X+C盈利减少 MP→? ③ST=X+C 盈亏均衡 ④ST 〉X+C 亏损ML→?
MP=C X BEP=X+C ST ML→?

0

ML=C



(4)卖出看跌期权
盈 MP=X-P

X 0 BEP=X-P ML=X-P 亏

MP=P

ML=P

ST

① ST 〉X ②X 〉ST 〉 X-P ③ST=X-P ④ST 〈X-P

盈利MP=P 盈利减少 盈亏均衡 亏损ML=X-P

三、 金融期权的定价模型
(一)金融期权价格构成 1、金融期权的内在价值 看涨期权: C (T) = max[0,S(T)-K] 看跌期权: P(T) = max[K-S(T),0] 2、金融期权的时间价值 时间价值=期权价格-内在价值 (二)影响期权价格的主要因素 协定价格与市场价格及两者的关系、权利期间(期权 剩余的有效时间)、标的资产的收益、标的资产价 格的波动性、利率

看涨期权的价格
C

时间价值 期权价格

内在价值
45° X

0

S

看跌期权的价格
P

期权价格 内在价值 时间价值

0

X

S

期权时间价值与权利期间的关系
时间 价值

6

5

4

3

2

1

0

权利期间

(三)看涨—看跌期权平价关系
1、假设条件 看涨、看跌期权具有相同的执行价格和相同的到期日,并且都 是欧式期权。 2、平价关系 ? 无收益资产的平价关系 C ? S ? Ke ? r (T ?t ) ? P ? 有固定收益资产的平价关系 ? r (T ?t ) P ? C ? ( S ? D ) ? Ke ? 期货期权的平价关系
? 美式期权的平价关系
– 标的资产无收益的平价关系 – 标的资产有收益的平价关系

C ? Fe? r (T ?t ) ? Ke ? r (T ?t ) ? P

S ? K ? c ? p ? S ? Ke?r (T ?t )

S ? D ? K ? c ? p ? S ? D ? Ke?r (T ?t )

(四)二项式定价模型
1、一般的单阶段的二叉树模型 设: S:标的物现行价格 u:标的物价格可能上涨倍率(u ?1) d:标的物价格可能下降倍率(d ?1) R = 1 +单周期的无风险利率 为了防止出现套利机会,要求: d<R<u 当股票价格上升时, Su = u × S ; 当股票价格下降时, Sd = d × S 在到期日,期权的盈亏为: 如果股票价格上升:Cu = max [(u〃s-k),o] 如果股票价格下降:Cd = max [(d〃s-k),o]

1、一般的单周期的二叉树模型
? 构造下列组合: 买入? 份股票+ 以无风险利率借入L 现金以复制看涨期 权,则: ? u × S + R × L = Cu ? d × S + R × L = Cd 解之,得: ? = (Cu - Cd)/ (u × S - d × S) L = - (dCu - u Cd) / [R × (u-d)] 注意:对看涨期权来说,L 总是负值(总是借入资金)。 问题:导出复制看跌期权组合的计算公式。

?Risk-Neutral Probability
C = ? S + L = 1/R × (q × Cu + (1-q) × Cd)
q? R ?d u?d

如果q是股票价格上涨的概率,则看涨期权的价格是期权未来价 值的期望值的贴现值。 ? 衍生证券的风险中性定价 如果每个人都是风险中性的,股票的期望收益率将等于无风险 收益率R。在风险中性的世界中,股票上升的概率为q(注意 在实际中,股票上升的概率为p,投资者是风险厌恶的 ) 看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值: C = 1/R × {q × Cu + (1-q) × Cd} 一般公式为: Derivative Price = EQ[(1/R)(T-t) × Payoff ] 此公式说明衍生证券的价格是其盈亏贴现值的期望值 (风险中 性的世界中)

u?R 1? q ? u?d

2、二期间二叉树模型(价格关系图)

Su
S

Su

2

Cu

Cu

2

Sd

Sud Sd
2

C

Cd

Cud Cd
2

2、两阶段二叉树模型
根据单阶段模型: Cu = (q × Cuu + (1-q) × Cud) / R Cd = (q × Cud + (1-q) × Cdd) / R 当得到Cu 、 Cd ,再使用单阶段模型,得: C = 1/R2 × { q2 × Cuu + 2 × (1- q) × q × Cud +(1-q)2 × Cdd }

同样,这也是一般模型的特例: Derivative Price = EQ[(1/R)(T-t) × Payoff ]

标的资产价格变化及风险中性概率的估计
在二叉树模型中,确定u, d, and q是关键,这里应用风险中性定 价法估计这些数值。 在风险中性世界中: ? 所有可交易证券的期望收益都是无风险利率; ? 未来现金流可以用期望值按无风险利率贴现 假设股票的价格遵从几何布朗运动,记:r为连续复利的无风险 收益率,S为期初的证券价格,则在很小 ?t末证券价格的期 望值为Ser?t :
Ser?t ? qSu ? (1 ? q)Sd

对一个价格遵从几何布朗运动的股票来说,在?t 内证券价格变 化的方差为 S 2? 2 ?t( ?S ~ ?( ??t, ? ?t )) S σ为股票价格以年计的波动标准差。根据方差的定义,有:

S 2? 2 ?t ? qS2u 2 ? (1 ? q) 2 S 2 d 2 ? S 2 [qu ? (1 ? q)d ]2

假设d=1/u(Cox, Ross, Rubinstein的条件),解上面的 三式,得u, d, and q的估计值为:

u?e

σ Δt

d?e

-σ Δt

e r?t ? d R ? d q? ? u?d u?d

f ? e?r?t [qfu ? (1 ? q) f d ]

Example: the Multi-period Binomial Model

Example(续):

3、二叉树模型的扩展****
? 有红利资产期权的定价
– 支付连续红利率资产的期权定价 记标的资产支付连续红利率为i, 在风险中性条件下,可以 用r- i 替代上面公式中r即可,其他不变。 这时,
e (r -i)?t ? d R ? d q? ? u?d u?d

对于期货期权,可以将期货看成支付连续红利率为r的证券, 则
q? 1? d u?d

3、二叉树模型的扩展
? 支付已知红利率资产的期权定价
若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率 ? (红利 与资产价格之比),我们可以通过调整各节点上的证券价 格,计算期权价格,调整方法为: 如果时刻 i?t 在除权日之前,则各结点处的证券价格不变, 为: Sui d i? j , j ? 1,2,?, i 如果时刻 i?t 在除权日之后,则各结点处的证券价格为
S (1 ? ? )ui d i? j , j ? 1,2,?, i

?利率是时间依赖的情况
在二叉树模型的中,假定无风险利率是常数,这显然与实 际不符。合理的假设是 r ? f (t ) ,即在时刻t的结点上, 其应用的利率等于t到 t ? ?t 之间的的远期利率。其他条 件不变,这样,资产价格上升的概率为:
e f(t) ?t ? d q? u?d

4、构造树图的其他方法
? q=0.5的二叉树图 如果在上面分析中,不假定d=1/u,而令q=0.5,则当?t 的高阶 小量可以忽略时,得:

u?e

( r ?i ?? 2 / 2 ) ?t ?? 2 ?t ( r ?i ?? 2 / 2 ) ?t ?? 2 ?t

d ?e

5、方差控制技术
基本原理: 期权A和期权B的性质相似(如其他条件相同的欧式和美式期 权),我们可以得到期权B的解析定价公式,而只能得到期 权A的数值方法解。 记 f B 为期权B的真实价值(解析解),f A 为期权A的较优估计值, ? ? f f 分别表示用同一种方法计算出的期权估计值。假设用数值计 A B 算出的期权B的误差等于期权A的误差,即:
? ? f ?f ? fB ? f B A A

可以证明,当 f?A 与 f?B 之间相关系数较大时, var( f A ) ? var( f?A ) 这说明这个方法减少了期权A的价值估计的方差,我们利用 ? 的信息改进了对期权A的价值的估计。 fB 和 f B 这种方法常用于美式期权的估计,其中A为美式期权, B为除执行 时间不同以外,其它均与美式期权相同的欧式期权.

(五)、布莱克——斯科尔斯模型
1、假设条件 ? 期权的标的物为一风险资产,允许卖空,并且完全可分 ? 在期权到期日前,标的资产无任何收益和支付。 ? 标的资产的交易是连续的,其价格的变动也是连续的,均匀 的,既无跳空上涨,又无跳空下跌。标的资产价格的波动性 为一已知常数。 ? 存在着一个固定不变的无风险利率,交易者可以按此利率无 限制地借入或贷出。 ? 期权是欧式的,到期日前不执行,不存在无风险套利机会 ? 标的物的价格服从于对数正态分布,股票的收益率服从正态 分布。

2、布莱克——斯科尔斯微分方程
(1)Ito过程与Ito引理 ? Ito过程

dx ? a( x, t )dt ? b( x, t )dz

? Ito引理 若变量x遵从Ito过程,则变量x与t的函数G将遵从下 列过程
?G ?G 1 ? 2G 2 ?G dG ? ( a? ? b ) dt ? bdz 2 ?x ?t 2 ?x ?x

dz ? ? dt

(2)证券价格自然对数变化过程
? 证券价格的变化过程

dS ? ?Sdt ? ?Sdz
? 衍生证券价格的变化过程
?G ?G 1 ? 2G 2 2 ?G dG ? ( ?S ? ? ? S ) dt ? ?Sdz 2 ?S ?t 2 ?S ?S

? 证券价格自然对数变化过程 令G=lnS,代入上式得:
1 dG ? ( ? ? ? 2 )dt ? ?dz 2

(3)布莱克——斯科尔斯微分方程
? 推导: 由上面的公式得:

?S ? ?S?t ? ?S?z
构造如下组合:
?f ?f 1 ? 2 f 2 2 ?f ?f ? ( ?S ? ? ? S ) ? t ? ?S?z 2 ?S ?t 2 ?S ?S
???f ? ?f S ?S

?f ?f 1 ? 2 f 2 2 ?? ? ??f ? ?S ? ( ? ? ? S )?t 2 ?S ?t 2 ?S

该组合在 ?t后必定没有风险,因此,该组合在 ?t中的瞬时收益 率一定等于 ?t 的无风险收益率。

这样有:
?? ? r??t

将有关式子代入得:
?f 1 ? 2 f 2 2 ?f ( ? ? S ) ? t ? r ( f ? S )?t 2 ?t 2 ?S ?S

化简得:

?f ?f 1 ? 2 f 2 2 ? rS ? ? S ? rf 2 ?t ?S 2 ?S

边界条件:C(T) = max[0,S(T)-K]

2、无收益股票欧式看涨期权定价的 BlackScholes 模型
假设每个投资者都是风险中性的,利用风险中性定价模型, Derivative Price = EQ[(1/R)(T-t) × Payoff ] 欧式看涨期权的价值为:

C ? e ?r (T ?t ) E[max( ST ? K ,0)]
假设标的物的价格服从于对数正态分布,股票的收益率服从 2 ? 正态分布,ln ST ~ ?[ln S ? (r ? )(T ? t ),? T ? t ]
2

我们得到Black-Scholes 定价公式为:
C ? SN(d1 ) ? Ke ?r (T ?t ) N(d2 )

d 2 ? d1 ? σ T - t

S ln( ) ? r(T - t) 1 K d1 ? ? σ T-t 2 σ T-t

r :The annualized riskless interest rate from today until
expiration. T:Time to expiration, in years (for example, 3 months = 0.25). e = 2.7183. σ = The instantaneous standard deviation of the asset‘s return, annualized. The volatility annualized. The terms N(d1) and N(d2 ) are the cumulative standard normal distributions of d1 and d2.(see picture)
应用平价公式,可得到无收益股票欧式看跌期权定价模型:

P ? Ke ? r (T ?t ) [1- N(d2 )] - S[1 - N(d1 )] ? Ke ?r (T ?t ) N(-d2 ) - SN(-d1 )

The standard normal and cumulative standard normal distributions.

3、有收益资产欧式看涨期权定价模型
? 当标的证券有现值为I的收益时,用(S-I)替代S即可;当标 的证券的收益率为di时,用 Se? di (T ?t ) 替代S即可。例如, 记di为年红利率(from today until expiration)
C ? Se?di (T ?t ) N(d1 ) ? Ke?r (T ?t ) N(d2 )
S ln( ) ? (r - di)(T - t) 1 K d1 ? ? σ T-t 2 σ T-t

d 2 ? d1 ? σ T - t

应用平价公式,得有收益率的股票欧式看跌期权定价模型:
P ? Ke ? r (T ?t ) [1 - N(d2 )] - Se ? di (T ?t ) [1 - N(d1 )] ? Ke ?r (T ?t ) N(-d2 ) - Se ?di (T ?t ) N(-d1 )

4、期货欧式看涨期权定价模型
当标的证券为期货时,用 Fe? r (T ?t ) 替代S即可。

C ? Fe?r (T ?t ) N(d1 ) ? Ke?r (T ?t ) N(d2 )
F ) K ? 1σ T-t d1 ? σ T-t 2 ln(

d 2 ? d1 ? σ T - t

应用平价公式,得期货欧式看跌期权定价模型:
P ? Ke ? r (T ?t ) [1 - N(d2 )] - Fe ? r (T ?t ) [1 - N(d1 )] ? Ke ?r (T ?t ) N(-d2 ) - Fe ?r (T ?t ) N(-d1 )

5、重要说明
使用model对期权定价存在两类风险 ? 模型特有风险 当股票价格偏离模型分布假设(对数正态)时,期权定价 模型就存在误差;特别是: n Jump risk.(跳跃风险) (The Black Scholes model does not allow for sudden big changes in stock prices.) n Volatility may not be constant over time. ? 估计风险: 我们仅仅能得到的是易变性的估计值。 所以,必须记住,所有基于期权定价模型计算的价格和无风 险交易策略都仅是一个估计值。 问题:当股票价格不服从对数正态分布时,期权如何定价? 应用期权定价模型对我国证券市场的权证定价,并分析产生 误差的原因?

6、易变性的估计
在 Black-Scholes 和其他的期权定价模型中,易变性是最难确定的 一个输入变量,因为易变性不能被观测到,而且必须进行估 计,其他输入变量则能被观测到,相对容易确定。 有三类易变性: n 期权有效期内未来易变性: The input required in option models to calculate the option’s theoretical price. n 历史易变性:给定样本基础上计算的过去收益率的样本标 准差 n 隐含易变性:当期权市场价格等于特定模型(如BlackScholes model 或the binomial model )的理论价格时的标准差 对未来易变性的确定没有一种完全正确的方法。一般可以应 用多种方法进行估计,如应用隐含易变性作为未来易变性的 估计值,或应用历史易变性作为未来易变性的估计值,也有 人应用GARCH 统计模型,估计未来易变性 什么是GARCH模型?如何应用GARCH估计未来易变性?如 何判断估计的精度?影响波动性的因素有哪些?

7、不确定参数下的Black-Scholes定价公式***
在BS公式中,假定无风险利率、波动率以及红利收益率都是常 数,但实际上这些都是变化的。 对于这些不确定的参数值,Avellaneda, Levy等人提出了解决的 基本思路,即假设我们知道这些参数位于某一特定的区间内, 之后考虑最悲观的情况下,我们的期权至少值多少。这样, 我们不会计算出期权的某一特定价值,而是计算期权的价值 区间。 ? 不确定波动率 假设 ? ? ? ? ? ? ? ,我们沿用BS模型的无套利组合方法,构造 下列组合: ?f
???f ? ?S S

根据Ito引理和证券收益率正态分布的假设,有
?f 1 ? 2 f 2 2 d? ? ( ? ? ? S )dt 2 ?t 2 ?S

不确定波动率
由于我们只知道波动率的范围,所以我们可以计算出最糟糕情况 下的期权价值,其方法为:在给定的波动率范围内取组合价值 的最小值,并使其等于无风险收益,这样,可以计算出期权的 最小值。其公式为:
?f 1 ? 2 f 2 2 ?f min ( ? ? S ) dt ? r ( f ? S )dt 2 ? ? ?? ?? ? ?t 2 ?S ?S

令 要实现左边最小,当 ? 为正时,应取 ? ? ,当 ? 为负时,应取? ? 期权下限应满足:
?f ? 1 ? 2 f ? ?f ? 2 2 ? ? ? ( ? ) S ? rS ? rf ?0 2 ?t 2 ?S ?S

?2 f ?? ?S 2

也就是说,当 ?为正时,我们用 ? ? 代替BS公式中的 ? , 可直接求 出期权的最小值;当 ?为负时,可用 ? ? 代替BS公式中的 ?求解。

其中,

?2 f ? ?? ?S 2

?? ? , ? ? 0 ? ( ?) ? ? ? ?? , ? ? 0

当然,也可以算出上限,即:
?f ? 1 ? 2 f ? ?f ? 2 2 ? ? ( ?) S ? rS ? rf 2 ?t 2 ?S ?S
?2 f ? ?? ?S 2
?

?0

?? ? , ? ? 0 ? ( ?) ? ? ? ?? , ? ? 0

? ? 也就是说,当 ? 为正时,应取? ,当 ? 为负时,应取 ? ,代入 到BS公式中,求出期权的最大值。

不确定利率
假设无风险利率位于 r ? ? r ? r ? ,与上面相同的方法,构造下列 ?f 组合: ?? f ? S
?S

并得到

?f 1 ? 2 f 2 2 ?f ( ? ? S ) dt ? r ( f ? S )dt 2 ?t 2 ?S ?S

由上式可知,求出期权的最小、最大值的利率取决于? 的符号。 如果在最差的情况下,? 为正,则利率应取最大值,? 负时,利 率应取最小值。其原因是,当组合为正时,我们在期权上有正 的投资(卖空资产的收入不足于支付期权多头的价格),此时, 利率越高越不利。 相应的方程为:
?f ? 1 ? 2 f ? 2 2 ?f ? ? ? ? S ? r ( ? )( S ? f )?0 2 ?t 2 ?S ?S

其中,

?f ? ?? f ? S ?S
?

?r ? , ? ? 0 r(?) ? ? ? ?r , ? ? 0

也就是说,当 ? 为正时,我们用 r 代替BS公式中的 r, 可直 接求出期权的最小值;当?为负时,可用 r ? 代替BS公式中 的 r求解。
?

不确定红利收益率
支付连续红利率的股票衍生证券所满足的微分方程。与上面相 同的方法,构造下列组合:

并得到

?? f ?

?f S ?S

?f 1 ? 2 f 2 2 ?? ? ( ? ? S )?t 2 ?t 2 ?S
?f ?t ?S



?t 内,证券组合的投资者获得资本利得 ??,以及红利为:
qS

则在 ?t 内,证券组合的投资者的财富变化为
?f 1 ? 2 f 2 2 ?f ?W ? ( ? ? S ? qS )?t 2 ?t 2 ?S ?S

由于组合是瞬态无风险的,则有:

?W ? r??t

不确定红利收益率
这样,有:
?f 1 ? 2 f 2 2 ?f ?f ( ? ? S ? qS ) ? t ? r ( f ? S )?t 2 ?t 2 ?S ?S ?S

因此,有:

?f ?f 1 ? 2 f 2 2 ? ( r ? q) S ? ? S ? rf 2 ?t ?S 2 ?S

假设红利率位于 q ? ? q ? q ? ,与上面相同的方法,对于最不利的情 况,我们只要解下列方程即可:
?f ? 1 ? 2 f ? 2 2 ?f ? ?f ? ? ? ? S ? r( S ? f ) ? qS ?0 2 ?t 2 ?S ?S ?S
?q ? , ? ? 0 q( ? ) ? ? ? ?q , ? ? 0

其中,

对q取值的理解
? 从上面公式看出,当△为正时,q越大,f的数值越小; ? 当△为正时,应为看涨期权,而标的资产收益率越高,标的 资产的价格越低,看涨期权价格越低;当△为负时,应为看 跌期权,而标的资产收益率越低,看跌期权价格越低。 ? ? 因此,当△为正时,要使期权值最小,要用 q ,当△为负时, 要用 。 q ? ? 计算时,用r-q替代r

(3)Hoggard-Whalley-wilmott交易成本模型
? 交易成本 在BS期权定价模型中,假设没有交易成本,但实际生活中, 这个假设是难以成立的,特别是连续的交易将导致很高的交 易成本。在期权交易中,根据BS期权定价模型,套期比率? 对资产价格变化非常敏感,因此需要进行不断地调整,从而 导致较高的交易成本。 ? Hoggard-Whalley-wilmott交易成本模型的基本思路 采用BS相同的方法,首先推导相应的微分方程,然后定价。在 推导微分方程时,将组合价值修正为原来的价值-交易成本。 ? 基本假设
– 投资者投资于期权组合 – 交易成本正比于所交易的资产价格( kS n ) – 股票价格的随机过程以离散形式给出。

推导过程
? 构造与BS分析方法中类似的无风险组合:
?? f ? ?f S ?S

? 计算 ?t 之后的预期组合价值变化
?f 1 ? 2 f 2 2 E ( ??) ? ( ? ? S )?t ? E (kS n ) 2 ?t 2 ?S

根据无风险套利假设:
E ( ?? ) ? r ( f ? ?f S ) ?t ?S n? ?f ?f ( S ? ?S , t ? ?t ) ? (S, t) ?S ?S

? 求交易成本的预期值 n为 ?t 之后持有标的资产数量(即:deta)与起初持有量之差 应用泰勒展式和Ito定理,n的主要部分为:
?2 f ?2 f n ? ?S 2 ( S , t ) ? 2 ( S , t )?S? ?t ?S ?S

得到定价方程
?f ?f 1 ?2 f 2 2 2 ?2 f 2 ( ? rS ? ? S ? k?S ? rf 2 2 ?t ?S 2 ?S ??t ?S 其中, 2
E( ? ) ?

?

? 对交易成本模型的理解 反映的是证券组合的凸度,是对保值误差的衡量。 由于存在保值误差,就需要调整资产头寸,因此,它是 与交易成本相关的量。 ? 对于单个期权的情况 ?, ?0 对于期权多头 H-W-W方程实际上可简化成以下式为 1 波动率的BS公式 2 2 2
? ? (? ? 2k? ?
?2 f ?? ?S 2

??t

)

得到定价方程(2)
? 对于单个期权的情况 对于期权空头, ? ? 0 ,H-W-W方程实际上可简化成以下式 为波动率的BS公式,也就是说,考虑交易成本后的期权定 价,通过在BS公式中使用修正的波动率即可得到。
2 2 ? ? (? ? 2k? ? ) ??t
2 1

从上面分析得到,当处于多头情况下,考虑交易成本后的波 动率明显较小(定价较低);当处于空头情况下,考虑交 易成本后的波动率明显较大(定价较高)。

(六)、Monte Carlo Simulation
Based on the discrete approximation of the stochastic differential equation (SDE) for the underlying stochastic process. For instance, discretize

dSt ? ?St dt ? ?St dzt

?St ? ?St ?t ? ?St ?zt

1.

The Euler Scheme

Example

2、 The idea of Monte-Carlo simulations method The idea behind Monte-Carlo simulations is to simulate lots of sample paths and starting from the initial value St=S then evaluate the expectation as the average of the function values over all the simulated sample paths. Use the Euler to simulate the sample paths. Use △t small enough.

Observations:
1. You can value many different options at the same time based on the same sets of sample paths (simply change the payoff functions g(.)). 2. Monte-Carlo replications works because of the law of large numbers: the sample average converges to the population average. 3. A VERY IMPORTANT OBSERVATION! To use Monte-Carlo simulation to price derivatives, you need to simulate the dynamics:

where r is the short-term interest rate and div is the dividend yield. Why?

第四节 信用衍生品的定价—Merton Approach

***

Introduction Options are embedded in many corporate securities such as warrants, convertible bond, and callable convertible bonds. In this lecture note, we apply what we have learned on option theory to the valuation of corporate securities. Outline ? Equity and Bonds as Options on Firm Assets ? Callable Bonds ? Non-Callable Convertible Bond with European Conversion Option. ? Non-Callable Convertible Bond with American Conversion Option. ? Callable Convertible Bonds.

一、Equity and Pure Discount Bonds
Equity is like a call option on the firm’s assets: Let the firm assets at time t be represented by Vt. Assume the claims on a firm’s assets are split between equity and zero coupon bonds. The bonds have a maturity of T and a combined face value of K (e.g., for 10,000 bonds, each with a face value of $1,000, K=$10,000,000.)

We see that the equity is like a call option on the firm value. The payoff at maturity of the equity is: Equity Payoff = Max(VT-K,0) The zero-coupon corporate bond is like a normal (riskfree) bond with an embedded written put with strike K. Debt Payoff = K - Max(K-VT,0)
Question: Should corporate bonds have higher yields than Treasury bonds? (Note the difference between promised yield and realized yield.) Should the expected (realized) yield be higher than those of Treasury bonds?

Subordinated Debt
Suppose the firm now has three classes of securities: Senior Debt with a face value of K1 (10 million). Junior Debt with a face value of K2 (5 million). Equity. The payoffs of the three securities at maturity, as a function of the firm value, are: The senior debt value is the same as before: Senior Debt Payoff = K1 - Max(K1-VT,0) Equity is still a call, but it now has a higher strike price,K1+ K2: Equity = Max(VT-K1-K2,0) The junior debt is more complicated: When V is near K1 it looks like equity. When V is near K1+K2 it looks like senior debt: Junior Debt = VT - K1 + Max(K1-VT,0) - Max(VT-K1-K2,0) = Max(VT-K1,0) - Max(VT-K1-K2,0) (like a Bull Spread)

Merton’s Model ? Merton’s model regards the equity as an option on the assets of the firm ? In a simple situation the equity value is: max(VT -K, 0) where VT is the value of the firm and K is the debt repayment required

Equity vs Assets

Volatilities(on the pricing of corporate debt, Merton)

*What is the risk neutral probability of default?

The risk neutral probability of default is given by the probability that the stock call option ends out-themoney. That is equivalent to the probability that V1-year<10 million. In the case of Merton’s model, this probability is equal to N(-d2), where d2 is the usual term in the Black and Scholes formula. In the example above N(-d2) = 12.7%.

二、Callable Bonds Features: ? Most corporate bonds are callable. ? The bondholders "write" an embedded call option to the issuer of the bond. The issuer can buy back the bond at a pre-specified price -- Call Exercise Price (or call price). ? The market price of the bond reflects this option. ? This call option usually can be exercised only after a "call protection" period of time.

Call Decision:
? We have conveniently ignored complications such as tax rules and costs to calling and issuing debts. These factors may influence the call decision of bond issuers. ? The manager represents the interest of equity holders and tries to minimize the value of the bond. ? The manager should not call the bond if the market value of the bond is less than the strike price. The manager should not leave uncalled a bond that has, if not called, a higher value than the strike price. The manager should call the bond as soon as the value of the bond, if not called, equals the call price. ? What are the market conditions under which the manager tend to exercise the call option? Note: The value of this embedded option is related to the volatility and level of rates, as well as to the prospect of the firm’s credit-quality improvement.

三、Non-Callable Convertible Bond with European Conversion Option
A convertible corporate bond gives its holder an option to convert the bond into a pre-specified number of shares. Notation n: number of outstanding shares m:number of outstanding bonds S:price per share B:market value of the bond issue K:total face value of the bond issue k:conversion ratio per bond mk:total number of new shares on conversion T:maturity date of the bonds γ: (=((mk)/(n+mk))) dilution factor (K/(mk)) conversion price We will assume that the convertible can only be exercised as a block.

Example:
The firm has 2,000 convertible bonds, each with a par value of $1,000. Each bond may be converted to 10 shares. There are currently 50,000 shares outstanding: K = 2,000 x 1,000 = 2,000,000 m * k = 2,000 x10 = 20,000 γ = ((mk)/(n+mk))= ((20,000)/(50,000+20,000))= (2/7) (K/mk)= ((2,000,000)/(20,000))= 100 Analysis of the decision to convert. If V(T) < $2,000,000 the firm is in default and B(T) = V(T), n S(T) = 0. If V(T) > $2,000,000, the firm is solvent, and the bondholders may wish to convert: If they don’t convert they receive K. If they convert, they receive γ x V(T)=(2/7) x V(T) Therefore they will convert if γ x V(T)>K or if: V(T) > K/γ = $7,000,000

The payoffs to the convertible bond holders and to the equity holders (assuming zero dividends and zero coupons) at maturity are:

or, splitting the equity value into two components, we get:

Based on this, the value of the equity is:

Value of Straight Stock Value of Conversion Feature and the value of the convertibles is:

四、Convertible Bond with American Conversion Option

It is never optimal to convert the bond prior to maturity (at time t1<T) on a non-dividend paying stock: If the bondholders convert at t1 they receive a fraction γ of the firm which, at time T will be worthγV(T) which is the gray line in the figure below. If the bondholders wait until maturity to make their conversion decision, they will receive: min[V(T),K]+max[γV(T)-K,0] which is the black line in the figure below. Notice Min[V(T),K]+max[γV(T)-K,0] ≥ γV(T) for all possible firm values at T.

Conversion decision in the presence of coupons and dividends is more complicated: If the stock does not pay dividends over the term of the bond’s maturity, then the bond is never converted prior to maturity. If a large dividend is going to be paid, it may be optimal to convert early in order to capture the dividend if the value of the right not to convert is small (which will be the case for large V) The bondholders receive a fraction γ of the dividend if they convert; otherwise the stockholders receive the entire dividend. Coupons decrease the incentive to convert because the bondholders receive the entire coupon; if the bondholders convert, the coupon stays with the firm, and the bondholders own only a fraction γ of it. Assume that the announced dividend is a known amount per share, regardless of the conversion decision of the bondholders. If the dividend that the bondholders would receive over the next day (by converting) does not exceed the coupon that they would receive by not converting, then they never exercise over the next day.

五、Callable Convertible Bonds
Features: The call feature of such bonds are similar to that for ordinary callable bonds. Except that bondholders can decide whether to convert (to stocks at pre-specified conversion ratio) on call. Conversion decision by bondholders: Conversion decision by bondholders is the same as for the case of non-callable convertible bonds Except that holders of callable-convertible bonds, upon a call, may choose between receiving the call price(including accrued interests) and converting to stocks: The bondholders decide whether to convert on call or not simply by comparing the Call Strike to the value of the shares that they would get by converting. If γV > m× Call Strike then the bondholders will choose to convert. Call decision by managers: Managers represent the interest of shareholders and try to minimize the value of the bonds (so as to maximize the value for shareholders). Should the firm call the bond prior to maturity?

Example:
Suppose that the firm value appreciated so much that γV> m * Call Strike Price. If the dividend is less than the coupon, even if the "conversion option" is in the money (i.e., γV >PV(debt coupons and principal), the bondholders will not voluntarily convert: they gain the coupons and keep the value to not convert by delaying conversion. In this case, the firm should call and force conversion (even if the call price is higher than the PV of the coupons and the principal of the bond), because this forces the bondholders to convert, so the firm can save the coupons and the bondholders lose (and the old shareholders gain) the "option? value (that is, the value of the right to not convert). When should the firm call?

In summary, a firm should not leave uncalled a convertible bond when γV > m * Call Exercise Price. A firm should call a convertible bond at the instant when the call is equal to the conversion value. This will force conversion (when γV is equal to m *Call Exercise Price). However, in practice we see that the median firm delays its call until the bonds’ conversion value is 43.9% higher than the call price (Ingersoll [1977]). The generally accepted explanation for this is that the firm is signaling something about its future prospects when it calls.(Good or bad prospect?) Empirically, we see that a firm’s share price drops when it calls, which is consistent with this theory.

Another reason to call the bond:
Does the above call rule suggest that the firm should never call if γV < m *Call Exercise Price? A firm should still call the bond before maturity in this case if the interest rate has gotten so low that the Call Exercise Price is much lower than the PV of the coupons and the principal of a bond. In this case, by calling the bond, the firm buy back the old debt and can refinance at much lower interest rate. This reason of calling a bond is the same reason behind calling an ordinary (callable but non-convertible) corporate bond. Note that, when calling the bond in this case, the company needs to incur the cost of issuing new debt.

六、Using the binomial model to price a callable convertible bond with coupons (and dividends) Example: Current total value of the firm is $200,000. 150 shares common stock, paying no dividends. 100 bonds, callable convertible, 10% coupon, face value of $1,000, callable at $1,100, maturing in two years. conversion ratio of 1 (one share/converted bond) r=1.08, u=1.5, d=0.5 q = ((r-d)/(u-d))= 0.58, γ= ((mk)/(n+mk))= ((100)/(150+100))= 0.4

Firm Value Process (in thousands):

[ ] . actually happens *- optimal action by bond holder

Will the bondholders convert voluntarily at u? The un-converted value of the bond at u is: Bu= ((0.58 x 170 + 0.42 x 100)/(1.08))+ ((10)/(1.08))=$139.44 while the converted value at u is: γV=0.4 x $290=$116 So the bondholders will not convert voluntarily. (We know this even without this calculation because the stock does not pay dividends.)

Will the firm choose to call the bond at u? (We assume that the firm can call in one year only after the coupon payment.)
If the firm calls the bondholders can either deliver the bond for the call price of $110, or convert and receive shares worth $116.

The bondholders will choose to convert, thus giving up a securities worth $139.44 for shares worth $116. This means that they give up options worth $23.44
This results in a transfer of $23.44 from the bondholders to the shareholders. Therefore, at this node, it is optimal for the firm to call and force conversion.

At the d node: The un-converted value of the bond is: ((0.58 x 100 + 0.42 x35)/(1.08))+ ((10)/(1.08))= $76.574 The converted value of the bond is: γV = 0.4 x 90 = 36 Since the un-converted value of the bond is greater than the converted value, the bondholders do not wish to convert However, since the call value(110) (or in this case the firm value of 90) is greater than the bond-value (unconverted) the firm do not call. We can now price the bond with two periods to go: The un-converted value of the bond is: ((0.58 x116 + 0.42 x76.574)/(1.08))+ ((10)/(1.08))= $101.334 while the converted value of the bond is: γV = 0.4 x 200 = 80 So the bondholders do not wish to convert and the firm does not wish to call. Which means that the total value of the callable convertible bonds with two periods to go is $101,334.




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