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北师大数学教科书九年级第一章证明(二)的编写特点.

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细微之处见打磨功
评析北师大数学教科书九年级第一章证明(二)的编写特点 安徽省庐江第四中学 束仁武(231500)
九年级上册数学教科书第一章证明(二)包括:1.你能证明它们吗?2.直角三角形; 3.线段的垂直*分线;4.角*分线和回顾与思考五部分。本章的主要内容是在七年级《探 索全等三角形》和《生活中轴对称》两章螺旋式上升的再现。我们在认真研读新课标、教 科书、教师指导用书的基础上,对教材中每个定理的来龙去脉、每道例题的延伸拓广、每 则*题设计等方面进行深入的反思,深刻地感受到教材的编著者在“细微之处见打磨功”。 下面摘选几个片断,进行评析,以给她一个公正的评价。
1.定理的来龙去脉 编著者以娴熟的知识体例、过硬的语言功底,严谨规范的书写格式,将每个定理的引 入交待的清清楚楚,给人以耳目一新的感觉。 例 1:在直角三角形中,如果一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 教科书在第 12 页从组织学生动手“做一做”,亲自测量直角三角尺各边长度,猜测直角边 与斜边之间的关系,再通过拼等边三角形。证明: 在直角三角形中,如果一个锐角等于 300, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 接下来,出示例题:等腰三角形的底角为 150,腰长为 2a,求腰上的高.通过形外作高, 构造含有 300 的直角三角形。进一步巩固知识,凸现定理的应用价值。教科书按“创设情 境---推导定理----应用拓展”模式展开,层层递进. 随堂练*中,设计两道*题一道与之配套,让学生练*巩固,提高解决实际问题的能 力。最后,教科书还设计“试一试”,给出它的逆命题“在直角三角形中,如果一条直角边 等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于 300”是真命题吗?如果是,请你证明它. 可见,这个定理的产生、发展、应用和变式练*等环节跃然纸上,令执教者叹为观止。

2.例题的延伸拓广

例题的选配,体现到编著者的主旨意图,但对例题的深入浅出的讲解要靠教师来传承,

对例题这座富矿如何开发,何时开发,怎样开发?我们教师要心中有数,真正做到“创造

性用教材教”。我们既不能照本宣科、按部就班完成每一道例题的讲解,又不能无节制“狂

挖乱采”。应该结合学生的实际,创造性利用教科书,循序渐进开发利用,充分发挥例题

的教学价值。

例 2:等腰三角形两底角的*分线相等。

对于这道例题,我们在备课时作周密的计划,分三步开发,以期开发其极大的价值。

具体地,

①横向延伸:

等腰三角形两底角的等分线相等吗?两条腰上的中线相等吗?高呢?还有其他的结

论吗?请你证明它们,并与同伴进行交流。

在等腰三角形 ABC 中,(1)如果∠ABD= 1 ∠ABC,∠ACE= 1 ∠ACB,那么 BD=CE 吗?如

3

3

果∠ABD= 1 ∠ABC,∠ACE= 1 ∠ACB 呢?由此你能得到一个什么结论?

4

4

(2)如果 AD= 1 AC, AE= 1 AB,那么 BD=CE 吗?如果 AD= 1 AC, AE= 1 AB 呢?由此你能得到

2

2

3

3

一个什么结论?

②纵向延伸:在同学们学*了角*分线后,涉及到三角形三条角*分线时,我们进一步

往事重提,让学生温故知新. 将等腰三角形这个强条件弱化,

变式 2:已知:△ABC 两条角*分线 AD、BE 交点 I,则夹角∠AIB 等于多少?

如果∠ABD= 1 ∠ABC,∠ACE= 1 ∠ACB,那么∠AIE 吗?

3

3

如果∠ABD= 1 ∠ABC,∠ACE= 1 ∠ACB 呢?

4

4

如果∠ABD= 1 ∠ABC,∠ACE= 1 ∠ACB 呢?

n

n

还可以改为: :△ABC 两外角*分线 AD、BE 交点 I,则夹角∠AIB 等于多少?等.

③逆向延伸:在回顾与思考时,复*反证法和逆命题时,我们又一次提出那道例题,请

同学们尝试写出它的逆命题,并尝试证明之.(这是著名斯坦纳定理),顺便介绍一下相关历

史,以提高学生的兴趣.

例 2:在△ABC 中,AC=BC,∠C=900,AD 是∠ABC 的角*分线,DE⊥AB,垂足为 E. (1)已知 CD=4cm,求 AC 的长; (2)求证:AB=AC+CD.(第 36 页例题) 教科书为了降低难度,创设直角三角形情境,其实,这题蕴含着∠C=2∠B 这一本质特征. 我们可以将此条件弱化,创造性利用教材,让学生思维理念得以升华. 变式 1: 如图 1,在△ABC 中, ∠C=2∠B ,AD 是∠ABC 的角*分线. 求证:AB=AC+CD. 证法 1:在 AB 上截取 AE=AC, ∵AD *分∠CAB, ∴易证△ACD≌△AED; ∴CD=DE,AC=AE.∠C=∠AED. ∵∠AED=∠B+∠BDE, ∠C=2∠B , ∴∠B=∠BDE,∴BE=DE. ∴AB=AE+BE=AC+CD. 证法 2:如图 2,延长 AC 到 E,使 CE=CD, ∴△CDE 为等腰三角形.∴ ∠E=∠CDE ∵∠ACB=∠E+∠CDE.∴∠ACB=2∠E, ∵∠C=2∠B,∴∠E=∠B, ∵AD 是∠ABC 的角*分线,由角*分线是轴对称图形可知:AE=AB. 即:AB=AC+CD. 本题的涉及的知识点,角*分线的轴对称性、等腰三角形及外角性质等。变式题是常

见的“截长补短法”。可见,教师点拨适当,证题规范,突出结论一致性,答案和谐性。
变式 2:在△ABC 中,AB=AC,∠A=1080,BD *分∠B 交 AC 于 D,求证:AB+DC=BC. 分析:将等腰三角形的条件不变,直角换成 1080,从中挖掘不变性。 证明从略。
3.*题精挑细选 有的教师责怪新教科书体系零乱,*题不配套,那是刚接触教科书,因为新教得科书对 传统东西删改太多,有不适应之歉.现在,通过三年的实验,扎实做每项工作,以关注每个学 生为自任.在这千载难逢的大好时机,我们既要为课改大声 疾呼,又要脚踏实地为课改尽一份微薄之力,不能让轰轰烈 烈的课改偃旗息鼓.下面欣赏一道*题。 例 3.如图 3,∠CAE 是△ABC 的外角,AD∥BC,且∠1=∠2. 求证:AB=AC.(教科书第 9 页) 学生在证明这道*题后,我们引导学生反思:这道*题 如果用文字叙述该怎样叙述?让学生们尝试: 三角形外角*分线*行于第三边,那么这个三角形是等 腰三角形。 在学*逆命题时,我们将这题进行开发,让学生们编写 的它的逆命题,并讨论逆命题的真假: 等腰三角形外角的*分线*行于底边。 过等腰三角形外角作*行于底边的直线*椒值妆摺 学生探究这两个命题都是正确的。 进一步思考,这个命题的重要题干是 3 支,它们是*行线、*分线和等腰三角形。 即:*行线+*分线=等腰三角形;
*分线+等腰三角形=*行线; *行线+等腰三角形=*分线。 现在,举例说明它们的应用: 变式 1:△ABC 是∠ABC、∠ACB 的*分线相交于点 F,过 F 作 DE∥BC,交 AB 于 D,交 AC 于 E。求证:BD+EC=DE。

变式 2:BO、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的*分线,OE∥AB,OF∥AC.求证:△OEF 的周长等 于 BC 的长.
变式 3:在△ABC 中,已知∠B 和∠C 的*分线相交于点 F,过点 F 作 DE∥BC,交 AB 于 点 D,交 AC 于点 E,若 BD+CE=9,则线段 DE 的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6 这三道变式题,依据例题得出结论,容易证明。变式 3 的答案应选 A。 教科书“定理的来龙去脉,例题的延伸拓广,*题的精挑细选”都精雕细琢。可见, 教科书的编写过程中在“细微之处见打磨功”。



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