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北京市昌平区2015届九年级上期末数学试卷含答案解析

发布时间:

昌平区 2015-2016 学年第一学期初三年级期末质量抽测

数学试卷

2016.1

学校

姓名

考试编号

考 1.本试卷共 8 页,共五道大题,29 道小题,满分 120 分 .考试时间 120 分钟. 生 2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号. 须 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 知 4.考试结束,请将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题(共 10 道小题,每小题 3 分,共 30 分)

下列各题均有四个选项,其中只有一.个.是符合题意的.

1.在平面直角坐标系中,将点 A(﹣2,3)向右平移3个单位长度后得到的对应点 A′的坐标是

A.(1,3)

B.(﹣2,﹣3)

C.(﹣2,6)

D.(﹣2,1)

【考点】图形的平移

【试题解析】

向右平移 3 个单位长度,那么就是横坐标加 3,所以-2+3=1

所以 A’的坐标为(1,3)

【答案】A

2.下面四个几何体中,主视图是圆的是

A

B

C

D

【考点】几何体的三视图

【试题解析】

主视图是指从正面看到的图形,从正面看到是圆的图形,是 B

【答案】B

3.“双十二”期间,小冉的妈妈在网上商城给小冉买了一个书包,除了书包打八折外还随机赠送购 买者1支笔(除颜色外其它都相同且数量有限).小冉的妈妈购买成功时,还有5支黑色,3支绿色, 2支红色的笔.那么随机赠送的笔为绿色的概率为

A. 1 10

B. 1 5

【考点】概率及计算

C. 3 10

【试题解析】

根据概率的知识,3÷(5+3+2)= 0.3,选 C

【答案】C

D. 2 5

4. 已知⊙O 的半径长为 5,若点 P 在⊙O 内,那么下列结论正确的是

A. OP>5

B. OP=5

C. 0<OP<5

D. 0≤OP<5

【考点】点与圆的位置关系

【试题解析】

因为点 P 在⊙O 内,所以 OP 最大不超过 5,最小为 0,选 D

【答案】D

5.如右图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则 sin B 的值等于

A. 4 3

B. 3 4

C. 4 5

D. 3 5

A

【考点】锐角三角函数

【试题解析】

∵AC=4,BC=3,

∴AB=5

∴sinB=

【答案】C

6.已知 y ? (m ? 2)x m ? 2 是 y 关于 x 的二次函数,那么 m 的值为

A.-2

B. 2

C. ?2

D. 0

【考点】二次函数的概念及表示方法

【试题解析】

根据题意得:

m=±2

C B

当 m=2 时,y=2,不是二次函数 选A 【答案】A

C

7.如右图,线段 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 丄 AB,∠CAB=20°,则∠AOD 等于

A.120°

B. 140°

C.150°

D. 160°

A

O

B

【考点】与圆有关的概念及性质

D

【试题解析】

∵线段 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 丄 AB,

∴弧 BC=弧 BD

∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°.

∴∠AOD=140°

【答案】B

8.二次函数 y ? x2 ? 2x ? 3的最小值为

A. 5

B. 0

C. -3

【考点】二次函数的概念及表示方法

【试题解析】

=(x-1)?-4≥-4

选D 【答案】D

D. -4

A

B

B1

A1

C

9.如右图,将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后得到△A1B1C.若∠A=40°,

则∠BCA1 的度数是

A.90°

B. 80°

C. 50°

D. 30°

【考点】图形的旋转

【试题解析】

根据旋转的性质,

∠B1=110°,∠B=110°,

∠A=40°

∠B1=110°,

∴∠ACB=30° ∵∠ACA1=80° 【答案】B

10. 如右图,正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于⊙O,EF 与 BC,CD 分别相交

于点 G,H,则 EF 的值为 GH

A. 2

3
B.
2

C. 3

D. 2

【考点】锐角三角函数

【试题解析】

如答图,连接 AC,EC,AC 与 EF 交于点 .

则根据对称性质,AC 经过圆心 O,

B

A

E GO

H

C

D

F

∴AC 垂直 平分 EF,

.

不妨设正方形 ABCD 的边长为 2,则

∵AC 是⊙O 的直径,∴

.



中,

. ,

.



中,∵

,∴

.

易知

是等腰直角三角形,∴

.

又∵

是等边三角形,∴

.



.

故选 C. 【答案】C

二、填空题(共 6 道小题,每小题 3 分,共 18 分)

11.如果 cos A ? 3 ,那么锐角 A 的度数为

.

2

【考点】锐角三角函数

【试题解析】

根据特殊值三角函数,∠A=30°

【答案】∠A=30°

D

12.如右图,四边形 ABCD 内接于⊙O,E 是 BC 延长线上一点,若∠BAD=105°, 则

∠DCE 的度数是

.

【考点】与圆有关的概念及性质 【试题解析】 ∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BCD=180°-105°=75° ∴∠DCE=105° 【答案】105°

AO B

CE

13.在一个不透明的口袋中装有 5 个除了标号外其余都完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,

5,从中随机摸出一个小球,其标号小.于.4 的概率为

3,4, .

【考点】概率及计算

【试题解析】

小于 4 的可能有 1,2,3,∴小于 4 的概率=3÷5=0.6

【答案】0.6

14.如右图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD ? AB 于点 E,?CDB ? 30 ,CD ? 2 3 ,

则阴影部分的面积为

.

A

【考点】概率及计算

【试题解析】

小于 4 的可能有 1,2,3,∴小于 4 的概率=3÷5=0.6

【答案】0.6

C EB O D

15.如图 1,将一个量角 器与一张等边三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形,CD⊥AB,垂足为 D,半圆(量角器)的圆心与点 D 重合,此时,测得顶点 C 到量角器最高点的距离 CE=2cm,将量 角器沿 DC 方向平移 1cm,半圆(量角器)恰与△ABC 的边 AC,BC 相切,如图 2,则 AB 的长为 cm.

C

C

E

E

A

D

B

A

D

B

图1

图2

【考点】切线的性质与判定 【试题解析】 设量角器的半径为 x,图 2 所示 CE=1cm x:AD=(1+x):AC ∵AC=2AD ∴x=1 CD=3cm ∵△ABC 是等边三角形
∴AB= cm

【答案】

16. 如右图,我们把抛物线 y=-x(x-3)(0≤x≤3)记为 C1,

y

它与 x 轴交于点 O,A1;将 C1 绕点 A1 旋转 180°得 C2,

交 x 轴于另一点 A2;将 C2 绕点 A2 旋转 180°得 C3,交 x 轴

于另一点 A3;……;如此进行下去,直至得 C2016.①C1 的对

O

称轴方程是

;②若点 P(604 7,m)在抛物线 C2016

上, 则 m =

.

C1

C3 …

A1

A2

A3

x

C2

【考点】二次函数的图像及其性质 【试题解析】

①对称轴方程为 x=1.5 ②抛物线 C2016 的解析式和 x 轴的交点坐标为 6045 和 6048, 顶点坐标为(6046.5,2.25); 抛物线解析式为 y=(x-6045)(x-6048),把 x=6047 代入得: m=-2 【答案】y=(x-6045)(x-6048);m=-2 三、解答题(共 6 道小题,每小题 5 分,共 30 分)
17.计算: sin 60 ? cos 30 ? (sin 45 )2 ? tan 45 .
【考点】锐角三角函数 【试题解析】 解:
【答案】
18.如下图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格 点, △ABC 的顶点均在格点上.
(1)画出将△ABC 向右平移 2 个单位后得到的△A1B1C1,再画出将△A1B1C1 绕点 B1 按逆时针方 向旋转 90°后所得到的△A2B1C2;
(2)求线段 B1C1 旋转到 B1C2 的过程中,点 C1 所经过的路径长.

B A
C
【考点】图形的旋转图形的平移 【试题解析】 解析:(1)如图所示.

(2)∵点 C1 所经过的路径为一段弧, ∴点 C1 所经过的路径长为 【答案】(1)见解析;(2)2π

19.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如下表:

x

… -2 -1 0

1

2



y



0

4

6

6

4



(1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标;

(2)直接写出当 y<0 时 x 的取值范围.

【考点】二次函数表达式的确定 【试题解析】 解析:(1)由表得,抛物线

过点(0,6),

∴c = 6. ∵抛物线


过点(-1,4)和(1,6),

解得,

∴二次函数的表达式为



∵抛物线

过点(0,6)和(1,6),

∴抛物线的对称轴方程为

.

∵当

时,

,

∴抛物线的顶点坐标为

.

(2)当 y<0 时 x 的取值范围是 x<-2 或 x>3.

【答案】(1)



;(2)x<-2 或 x>3.

20. 如下图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC= 2 3 ,求 AB 的长.
A 【考点】解直角三角形 【试题解析】 解析:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.

C B

在 Rt△ADC 中,







.

在 Rt△CDB 中,∠B=45°, ∴∠DCB=∠B=45°.



.



.

【答案】3+

21.某小区为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类,分别记为 a,b, c,并且设置了相应的垃圾箱,“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱,分别记为 A,B, C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱,请画树状图或列表求垃圾投放正确的概 率; (2)为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 100 吨生活垃圾, 数据统计如下表(单位:吨):

垃圾

垃圾箱

A

B

C

a

40

10

10

b

3

24

3

c

2

2

6

试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少.

【考点】概率及计算 【试题解析】 解析:(1)画树状图或列表为

∴ P(垃圾投放正确)= .

(2)∵



∴估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为 . 【答案】见解析

22. 如右图,二次函数 y ? (x ? h)2 ? k 的顶点坐标为 M( 1,-4).

(1)求出该二次函数的图象与 x 轴的交点 A,B 的坐标;

(2)在二次函数的图象上是否存在点 P(点 P 与点 M 不重合),使

S△PAB

?

5 4

S△ MAB ,若存在,求出

P

点的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数与几何综合 【试题解析】

y

AO

B

x

M

解:(1)∵二次函数

的顶点坐标为 M(1,-4),

∴抛物线的表达式为

.

令 y=0,得

.

∴抛物线与 轴的交点坐标为 A(-1,0),B(3,0). (2)∵A(-1,0), B(3,0), M(1,-4), ∴AB=4.



.

∵AB=4,

∴点 P 到 AB 的距离为 5 时,

.

即点 P 的纵坐标为 . ∵点 P 在二次函数的图象上,且顶点坐标为 M(1,-4), ∴点 P 的纵坐标为 5.



.

∴ x1=-2,x2=4. ∴点 P 的坐标为(4,5)或(-2,5).

【答案】(1)

A(-1,0),B(3,0).(2)(4,5)或(-2,5)

四、解答题(共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分)
23.如右图,△ ABC 内接于⊙O,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,点 P 是 CD 延长线上的一点,且 AP=AC. (1)求证:PA 是⊙O 的切线;
P
(2)若 AB ? 4 ? 3 , BC ? 2 3 ,求⊙O 的半径.

A

D

O

C

B

【考点】四边形综合题 【试题解析】

解析:(1)证明:连接 OA. ∵∠B=60°, ∴∠AOC=2∠B=120°. 又∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=30°. 又∵AP=AC, ∴∠P=∠ACP=30°. ∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°. ∴OA⊥PA. 又∵点 A 在⊙O 上, ∴PA 是⊙O 的切线. (2)解:过点 C 作 CE⊥AB 于点 E.

在 Rt△BCE 中,∠B=60°,





,CE=3.









∴在 Rt△ACE 中,



∴AP=AC=5.

∴在 Rt△PAO 中,



∴⊙O 的半径为 .

【答案】(1)见解析;(2)

24.某校九年级进行集体跳绳比赛.如下图所示,跳绳时,绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线
的一部分,记作 G,绳子两端的距离 AB 约为 8 米,两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离 AC 和 BD
基本保持 1 米,当绳甩过最低点时刚好擦过地面,且与抛物线 G 关于直线 AB 对称. (1)求抛物线 G 的表达式并写出自变量的取值范围; (2)如果身高为 1.5 米的小华站在 CD 之间,且距点 C 的水平距离为 m 米,绳子甩过最高处时超过 她的头顶,直接写出 m 的取值范围.

G

A

B

C

D 地面

【考点】二次函数表达式的确定 【试题解析】 解析:(1)如图所示建立平面直角坐标系.

由题意可知:



,顶点

.

设抛物线 G 的表达式为

.



在抛物线 G 上,



,求得

.



.

自变量的取值范围为-4≤x≤4.

(2)

.

【答案】(1)

;(2)

25.如图,⊙O 的半径为 20,A 是⊙O 上一点,以 OA 为对角线作矩形 OBAC,且 OC=12. 直线 BC 与⊙O 交于 D,E 两点,求 CE-BD 的值.

A DB

E C O

【考点】与圆有关的概念及性质

【试题解析】

解析:过点 O 作

于点 F.





在矩形 ABOC 中,OA=20,





.

在 Rt△BOC 中,OC=20 ,

∴cos∠

.

在 Rt△OCF 中,cos∠





.



.

.



.

【答案】

26. 【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题:已知 α 为锐角,且 sinα= 1 ,求 sin2α 的 3
值. 小娟是这样给小芸讲解的:

如图 1,在⊙O 中,AB 是直径,点 C 在⊙O 上,所以∠ACB=90°. 设∠BAC=α, 则 sinα= BC AB

= 1 .易得∠BOC=2α.设 BC=x,则 AB=3x,则 AC= 2 2 x.作 CD⊥AB 于 D,求出 CD= 3

(用含 x 的式子表示),可求得 sin2α = CD =



OC

【问题解决】已知,如图 2,点 M,N,P 为⊙O 上的三点, 且∠P=β,sinβ = 3 ,求 sin2β 的 5
值.

P

M

C

A

B OD

O

N

图1

图2

【考点】锐角三角函数 【试题解析】

解析:解:



sin2α = = .
如图,连接 NO,并延长交⊙O 于点 Q,连接 MQ,MO,过点 M 作 在⊙O 中,∠NMQ=90°.

于点 R.

∵∠Q=∠P=β , ∴∠MON=2∠Q=2β . 在 Rt△QMN 中,

∵sinβ =



∴设 MN=3k,则 NQ=5k,易得 OM= NQ= .

∴MQ=











∴ MR= .

在 Rt△MRO 中,sin2β =sin∠MON =



【答案】 ;

五、解答题(共 3 道小题,第 27,28 小题各 7 分,第 29 小题 8 分,共 22 分)

27.阅读下列材料: 春节回家是中国人的一大情结,春运车票难买早已是不争的事实. 春节回家一般都要给父母、
亲戚带点年货,坐车回去不好携带,加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费

通行等因素,所以选择春节租车回家的人越来越多. 这都对汽车租赁市场起到明显的拉动作用,出 现了很多的租赁公司.
某租赁公司拥有20辆小型汽车,公司平均每日的各项支出共6250元. 当每辆车的日租金为500元 时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆.
根据以上材料解答下列问题:

设公司每日租出x辆车时,日收益为y元(日收益=日租金收入-平均每日各项支出) .

(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金收入为

元(用含x的代数式表示);

(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元?

(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益才能盈利?

【考点】函数的表示方法及其图像 【试题解析】 解析:(1)1500-50x(0≤x≤20, x 为整数). (2)∵日租金收入=每辆车的日租金×日租出车辆的数量, ∴日租金收入=x(1500-50x). 又∵日收益=日租金收入-平均每日各项支出, ∴y=x(1500-50x)-6250 =-50x2+1500x-6250=-50(x-15)2+5000. ∵租赁公司拥有 20 辆小型汽车, ∴ 0≤x≤20. ∴当 x=15 时,y 有最大值 5000. ∴当日租出 15 辆时, 租赁公司的日收益最大,最大值为 5000 元.

(3)当租赁公司的日收益不盈也不亏时,即 y=0. ∴-50(x-15) 2 + 5000=0,解得 x1=25,x2=5. ∴当 5<x<25 时,y>0. ∵租赁公司拥有 20 辆小型汽车, ∴当每日租出 5<x≤20(x 为整数)辆时,租赁公司的日收益才能盈利. 【答案】(1)1500-50x(0≤x≤20, x 为整数);(2)当日租出 15 辆时, 租赁公司的日收益最 大,最大值为 5000 元;(3)当每日租出 5<x≤20(x 为整数)辆时,租赁公司的日收益才能盈利。

28. 已知,点 O 是等边△ABC 内的任一点,连接 OA,OB,OC. (1)如图 1,已知∠AOB=150°,∠BOC=120°,将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△ADC.

①∠DAO 的度数是



②用等式表示线段 OA,OB,OC 之间的数量关系,并证明;

(2) 设∠AOB=α,∠BOC=β.

①当 α,β 满足什么关系时,OA+OB+OC 有最小值?请在图 2 中画出符合条件的图形,并说明理

由;

②若等边△ABC 的边长为 1,直接写出 OA+OB+OC 的最小值.

A

A

D

O

B

C

图1

B

C

图2

【考点】等边三角形 【试题解析】

解析:(1)①90°.②线段 OA,OB,OC 之间的数量关系是

.

如图 1,连接 OD.

∵△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△ADC, ∴△ADC≌△BOC,∠OCD=60°. ∴CD = OC,∠ADC =∠BOC=120°, AD= OB. ∴△OCD 是等边三角形. ∴OC=OD=CD,∠COD=∠CDO=60°. ∵∠AOB=150°,∠BOC=120°, ∴∠AOC=90°. ∴∠AOD=30°,∠ADO=60°. ∴∠DAO=90°. 在 Rt△ADO 中,∠DAO=90°,



.



.

(2)①如图 2,当α =β =120°时,OA+OB+OC 有最小值. 作图如图 2 的实线部分. 如图 2,将△AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△A’O’C,连接 OO’.

∴△A’O’C≌△AOC,∠OCO’=∠ACA’=60°. ∴O’C= OC, O’A’ = OA,A’C = BC, ∠A’O’C =∠AOC.

∴△OC O’是等边三角形. ∴OC= O’C = OO’,∠COO’=∠CO’O=60°. ∵∠AOB=∠BOC=120°, ∴∠AOC =∠A’O’C=120°. ∴∠BOO’=∠OO’A’=180°. ∴四点 B,O,O’,A’共线. ∴OA+OB+OC= O’A’ +OB+OO’ =BA’ 时值最小. ②当等边△ABC 的边长为 1 时,OA+OB+OC 的最小值 A’B= . 【答案】见解析
29. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知两点 A(0,3),B(1,0),现将线段 AB 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°得到线段 BC,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 C. (1)如图 1,若该抛物线经过原点 O,且 a ? 1 .
4 ①求点 C 的坐标及该抛物线的表达式; ②在抛物线上是否存在点 P,使得∠POB=∠BAO. 若存在,请求出所有满足条件的点 P 的坐标,
若不存在,请说明理由; (2)如图 2,若该抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点 D(2,1),点 Q 在抛物线上,且满足∠QOB=∠BAO.
若符合条件的 Q 点的个数是 4 个,请直接写出 a 的取值范围.

y
4

A

2

1

C

-1 O B 2 3 4

x

-1

图1

【考点】二次函数与一次函数综合 【试题解析】 解析:(1)①如图 1,过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D.

y
4

A

2

1

C

-1 O B 2 3 4

x

-1

图2



.

∵∠ABC=90?,



.

又∵





.

∵AB=BC,

∴△AOB≌△BDC.

∴BD=OA,CD=OB.

∵A(0,3),B(1,0),

∴C(4,1).

∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过原点 O,且





.

又∵抛物线经过点 C(4,1),



.

∴该抛物线的表达式为

.

② 当点 P 在第一象限时,过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G,连接 OP. ∵∠POB=∠BAO,



.

设 P(3m,m),m>0.

∵点 P 在

上,



.

解得:

, (舍去).



.

当点 P 在第四象限时,同理可求得

.

当点 P 在第二、三象限时,∠POB 为钝角,不符合题意.

综上所述,在抛物线上存在使得∠POB=∠BAO 的点 P,点 P 的坐标为



.

(2) 的取值范围为



.

【答案】见解析




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