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(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第6节 双曲线课件 文 新人教A版_图文

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第6节 双曲线

最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道 其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

知识梳

1.双曲线的定义



平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的绝对值等 于常数(小于|F1F2|且大于零定)的点点的轨迹叫双曲线.这两个 叫
双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合P

={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,

c>0:a<c

(1)若

时,则两集条合射P线为双曲线;

(2)若aa=>cc时,则集合P为 ;

(3)若

时,则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ax22-by22=1(a>0,b>0) ay22-bx22=1(a>0,b>0) 图形

范围 x≥a 或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a

对称性

对称轴: 坐标轴;对称中心:原点

顶点 A1(-a,0),A2(a,0A)1(0,-a),A2(0,a)

性 渐近线 质

y=±bax
c

y=±abx

离心率

e= a ,e∈(1,+∞)

线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 实虚轴 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双
曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长

a,b,c 的关系

c2= a2+b2

[常用结论与微点提醒] 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2ab2,也叫通径. 2.离心率 e=ac= a2a+b2= 1+ab22.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.

诊断自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.( ) (2)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程xm2-yn2=1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( ) (4)双曲线mx22-ny22=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是mx22-ny22=0,即mx ±ny=0.( )

解析 (1)因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射 线. (2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全 部. (3)当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m<0,n< 0时则表示焦点在y轴上的双曲线. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程m2x+2 n-3my2-2 n=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的

距离为 4,则 n 的取值范围是( )

A.(-1,3)

B.(-1, 3)

C.(0,3)

D.(0, 3)

解析 ∵方程m2x+2 n-3my2-2 n=1 表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2,

由双曲线性质,知 c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中 c 是半焦距),∴焦距 2c=2×2|m| =4,解得|m|=1,∴-1<n<3.

答案 A

3.(2017·全国Ⅰ卷)已知 F 是双曲线 C:x2-y32=1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF

与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( )

1

1

2

3

A.3

B.2

C.3

D.2

解析 由 c2=a2+b2=4 得 c=2,所以 F(2,0),将 x=2 代入 x2-y32=1,得 y=±3,

所以|PF|=3.又 A 的坐标是(1,3),故△APF 的面积为12×3×(2-1)=32. 答案 D

4.(2017·北京卷)若双曲线 x2-ym2=1 的离心率为 3,则实数 m=________. 解析 由题意知1+1 m=e2=3,则 m=2. 答案 2

5.(选修1-1P54A6改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标 轴上的等轴双曲线方程为________.
解析 设双曲线的方程为:x2-y2=λ(λ≠0),把点 A(3,-1)代入,得 λ=8,故所求 方程为x82-y82=1. 答案 x82-y82=1

考点一 双曲线的定义及其应用

【例 1】 (1)(2018·长春质检)双曲线 C 的渐近线方程为 y=±233x,一个焦点为 F(0,

- 7),点 A( 2,0),点 P 为双曲线第一象限内的点,则当点 P 的位置变化时,

△PAF 周长的最小值为( )

A.8

B.10

C.4+3 7

D.3+3 17

(2)(2018·西安调研)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同

时与圆 C1 及圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________.

解析 (1)由已知得双曲线方程为y42-x32=1,设双曲线的另一个焦点为 F′,则|PF|= |PF′|+4,△PAF 的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF′|+4+|PA|+3,当 F′,P,A 三点共
线时,|PF′|+|PA|有最小值,为|AF′|=3,故△PAF 的周长的最小值为 10. (2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,

所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|=6. 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M
与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a=1,c=3,则b2=8. 故点 M 的轨迹方程为 x2-y82=1(x≤-1). 答案 (1)B (2)x2-y82=1(x≤-1)

规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为 双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;2.在“焦点三角形”中, 常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运 用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.

【训练 1】 (1)已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|

=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( )

A.14

B.35

C.34

D.45

(2)设 P 是双曲线1x62-2y02=1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|

=9,则|PF2|等于________.

解析 (1)由 x2-y2=2,知 a=b= 2,c=2.

由?????||PPFF11||-=|2P|PFF2|2=|,2

2, 得|PF1|=4

2,|PF2|=2

2,

在△PF1F2 中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得 cos∠F1PF2=|PF1|22+|P|PFF1|·2||P2-F2||F1F2|2=34.

(2)由题意知|PF1|=9<a+c=10,所以P点在双曲线的左支,则

有|PF2|-|PF1|=2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17.

答案 (1)C (2)17

考点二 双曲线的标准方程的求法 【例 2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线 C:ax22-by22=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程

为 y= 25x,且与椭圆1x22+y32=1 有公共焦点,则 C 的方程为( )

A.x82-1y02 =1

B.x42-y52=1

C.x52-y42=1

D.x42-y32=1

(2)(一题多解)设双曲线与椭圆2x72+3y62=1 有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点

的坐标为( 15,4),则此双曲线的标准方程是________.

解析 (1)由题设知ba= 25,① 又由椭圆1x22+y32=1 与双曲线有公共焦点, 易知a2+b2=c2=9,② 由①②解得 a=2,b= 5,则双曲线 C 的方程为x42-y52=1. (2)法一 椭圆2x72+3y62=1 的焦点坐标是(0,±3), 设双曲线方程为ay22-bx22=1(a>0,b>0),
根据定义知 2a=| ( 15-0)2+(4-3)2- ( 15-0)2+(4+3)2|=4,
故 a=2.又 b2=32-a2=5,故所求双曲线的方程为y42-x52=1.

法二 椭圆2x72+3y62=1 的焦点坐标是(0,±3).设双曲线方程为ay22-bx22=1(a>0,b>0),
则 a2+b2=9,又点( 15,4)在双曲线上,所以1a62-1b52=1,解得 a2=4,b2=5.故所
求双曲线的方程为y42-x52=1. 法三 设双曲线的方程为27x-2 λ+36y-2 λ=1(27<λ<36), 由于双曲线过点( 15,4),故271-5 λ+361-6 λ=1, 解得 λ1=32,λ2=0(舍去).故所求双曲线方程为y42-x52=1. 答案 (1)B (2)y42-x52=1

规律方法 求双曲线标准方程的一般方法 (1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数 a,b,c 的方 程并求出 a,b,c 的值.与双曲线ax22-by22=1 有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为ax22 -by22=λ(λ≠0). (2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出 a 的值,由定点位置确定 c 的值.

【训练 2】 (1)已知双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线

的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切,则双曲线的方程为( )

A.x92-1y32 =1 C.x32-y2=1

B.1x32 -y92=1 D.x2-y32=1

(2)(2018·郑州质量预测)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=24y 的焦点重合,其

一条渐近线的倾斜角为 30°,则该双曲线的标准方程为( )

A.x92-2y72 =1 C.1y22 -2x42 =1

B.y92-2x72 =1 D.2y42 -1x22 =1

解析 (1)由题意知,双曲线的渐近线方程为 y=±bax,即 bx±ay=0,因为双曲线的渐 近线与圆(x-2)2+y2=3 相切,所以 a|22+b| b2= 3,由双曲线的一个焦点为 F(2,0)可 得 a2+b2=4,所以|b|= 3,即 b2=3,所以 a2=1,故双曲线的方程为 x2-y32=1.

(2)∵x2=24y,∴焦点为(0,6), ∴可设双曲线的方程为ay22-bx22=1(a>0,b>0). ∵渐近线方程为 y=±abx,其中一条渐近线的倾斜角为 30°, ∴ab= 33,c=6,∴a2=9,b2=27.其方程为y92-2x72=1.
答案 (1)D (2)B

考点三 双曲线的性质 【例 3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线 C:ax22-by22=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,以
A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点.若∠ MAN=60°,则 C 的离心率为________. (2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的右支 与焦点为 F 的抛物线 x2=2py(p>0)交于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双 曲线的渐近线方程为________.

解析 (1)如图,点 M,N 所在的渐近线为 ay-bx=0,圆 A 的圆心 A(a,0)到渐近线 的距离 d= |0a-2+abb|2,又 M,N 均为圆 A 上的点,∴|AM|=|AN|=b,又∠MAN=60°,

∴△MAN 为等边三角形,在△MAN 内,A 到边 MN 的距离为 d=|AM|·cos 30°= 23b,

即 |0a-2+abb|2= 23b,解得 a2=3b2,∴e=ac=

a2+a2 b2=2

3

3 .

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),

联立方程:???ax22-by22=1,消去 x 得 a2y2-2pb2y+a2b2=0, ??x2=2py,

由根与系数的关系得 y1+y2=2ab22p, 又∵|AF|+|BF|=4|OF|,∴y1+p2+y2+p2=4×p2,



y1+y2=p,∴2ab22p=p,即ba22=12?ba=

2 2.

∴双曲线渐近线方程为

y=±

2 2 x.

答案

23 (1) 3

(2)y=±

2 2x

规律方法 1.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线ax22-by22= 1(a>0,b>0)中,离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k=±ba满足关系式 e2=1+k2. 2.求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a,b, c 的方程或不等式,利用 b2=c2-a2 和 e=ac转化为关于 e 的方程或不等式,通过解 方程或不等式求得离心率的值或取值范围.

【训练 3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若 a>1,则双曲线ax22-y2=1 的离心率的取值范围是

() A.( 2,+∞)

B.( 2,2)

C.(1, 2)

D.(1,2)

(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:x22-y2=1 上的一点,F1,F2 是 C

的两个焦点,若M→F1·M→F2<0,则 y0 的取值范围是( )

?
A.?-
?

33,

3?

3

? ?

?
B.?-
?

63,

3?

6

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C.???-23

2,23

2?
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D.??-2
?

33,2

3

3?
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