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大学物理基础教程 教学课件 ppt 作者 尹国盛 第九章 量子物理学_图文

发布时间:

第九章 量子物理学
9.1
9.2 9.3 9.4 9.5

热辐射
光电效应 物质的本性 玻尔的氢原子力量 薛定谔方程 康普顿效应

9.6

激光

9.1 热辐射
9.1.1 热辐射的基本概念
热辐射: 物体发出的各种电磁波的能量按频率(波长)的 分布随温度而不同的电磁辐射现象。 对热辐射的初步认识 1.任何物体任何温度(T≠0)均存在热辐射 2.热辐射谱是连续谱

3.热辐射谱与温度有关
如一个20瓦的白炽灯和一个200瓦的白炽灯 昏黄色 特别亮 刺眼

13.2 黑体辐射 普朗克的能量子假说
物体温度升高时

直觉:低温物体发出的是红外光 炽热物体发出的是可见光 高温物体发出的是紫外光 注意:热辐射与温度有关 激光 日光灯发光不是热辐射

1.单色辐出度
辐射出射度 (辐出度) --- M
单位时间内从物体表面单位面积上所辐射出来的各 种频率(波长)电磁波能量的总和

2. 单色辐射出射度(单色辐出度) M?
dM M? ? d? 式中 dE(T) 是频率(波长)在 ?? ? +d ?(? ? ?+d?) 范围 内单位时间从物体表面单位面积上辐射的电磁波能量.
M ? ? dM ? ? M? d?
0 ?

(光谱辐射出射度)

单位:W/(m2.Hz)

3.吸收比
单色吸收比(光谱吸收比)?? ? ? 和单色反射比 (光谱反射比)?? ? ? 物体在温度T,吸收和反射频率(波长)? ? ? ?d ?范围内电磁波能量与相应频率(波长)入射电

磁波能量之比
对于不透明物体: ? ? ? ? + ?? ? ? =1

黑体
若一个物体在任何温度下,对于任何波长入射辐射能 的吸收比都等于 1, 即, ? 0 (? ) ? 1 则称它为 绝对黑体 —— 黑体

9.1.2 黑体辐射
人造绝对黑体模型 — 带有小孔的空腔

吸收 向远处观察打开的窗子近似黑体 研究热辐射时,太阳被看成黑体。 黑体能够辐射出各种频率的电 磁波,但不同频率电磁波的辐射能 量不同。

发射

黑体辐射公式
1)斯特藩—玻耳兹曼定律
小孔
T

e(T )

s

L1

平行光管

L2

会聚透镜

c
空腔 棱镜

热电偶

M ? ? MT , ? d ? ? ? T 4
0

?

斯特藩常数 ? ? 5.67051 ? 10?8W / m 2 K 4

2)维恩位移定律 黑体辐射出的光谱中辐射最强的波长 ? m 与黑体温 度 T 之间满足关系

?mT ? b

维恩常数 b ? 2.897756 ? 10?3 m ? K

例. 太阳常量I0 =1.35 kW /m2 , 试估计太阳表面温度. 解 : 太阳单位时间辐射能量为

4? R 2 M (T ) ? 4? r 2 I 0 r 2 I0 地球 ? M (T ) ? 2 , R 2 r 由 E (T ) ? ? T 4 得? T 4 ? 2 I 0 R
太阳与地球之间的平均距离为 太阳半径为

r
R

r ? 1.496 ? 1011 m

R ? 6.960 ? 108 m

r 2 I0 1 3 4 ) ? 5.76 ? 10 (k ) 故太阳表面温度为 T ? ( 2 ?R

经典物理学所遇到的困难
1)维恩的半经验公式:

M 0? ? ?? 3e ? ?? / T
公式适合于短波波段, 长波波段与实验偏离。 2)瑞利----金斯公式
2?? 2 M 0? ? 2 kT 玻尔兹曼常数 k =1.380658?10-23J/K c 公式只适用于长波段,而在紫外区与实验不符, ----紫外灾难

9.1.3. 普朗克的能量子假说
普朗克公式
M 0? (T ) ? 2? hc 2 1 e
hc k? T

?5

?1
M.Planck 德国(1858-1947)

从普朗克公式回推:

瑞利—金斯公式中:

? ?

? n?
n ?0 ? n ?0

?

0

exp( ?n? 0 / kT )
0

? exp( ?n?

/ kT )

? exp( ?? / kT )d? ? ?? ? kT ? exp( ?? / kT )d?
0 ? 0

?

1900.12.14. 德国物理学会上报告 《关于正常谱中能量分布理论》 基本物理思想:

?辐射黑体中的分子、原子可看作线性谐振子 ?振动时向外辐射能量(也可吸收能量)
?普朗克能量子假定: 振子的能量不连续 - 能量子 ? 物体发射或吸收电磁辐射时交换能量的最 小单位是“能量子”

E ? n?

n ? 1, 2,...

? ? h?

?E ? ( ?n)h?

M 0? (T ) ?
?

2? hc 2

1 e
hc k? T

?5

?1

(1) M 0 ? ? M 0 ? d ? ? ? T 4 (斯特藩—玻耳兹曼定律) (2) 由 dM 0? ? 0得? T ? b (维恩位移定律) m d? h? 3 ? ?? / T kT M ? ?? e (3) 当?大时(短波段) e ?? 1 0? (维恩的半经验公式)
0

(4)当?小时(长波段) h?

M 0?

2?? 2 ? kT 2 c

kT

?0

e

h?

kT

h? ? 1? kT

(瑞利----金斯公式)

量子假说的意义及其与宏观现象的关系
? 物体发射或吸收电磁辐射时交换能量的最小 单位是“能量子”

E ? n?

n ? 1, 2,...
- 能量子

? ? h?


? 打破“一切自然过程能量都是连续的”经典看 ? 说明了宇宙辐射背景 T = 3K

? 敲开量子力学的大门

9.2 光电效应
9.2.1 光电效应
光电效应 光电子

康普顿效应

照射光 光电管 K O O O O O O V . A G

1. 光电效应实验规律 1) 2) 3) 4) 饱和电流 遏止电压 红限频率 具有瞬时性

B

O O

1) 饱和电流 入射光频率一定时, 饱和光电流强度 Is 与入射 光强度成正比。 ?单位时间内从金属 表面溢出的电子数目n与入 射光强度成正比,Is∝ne. (n∝光强)

I 饱 和 电I m 流 光强较强 光强较弱

O 光电效应伏安特性曲线

U

2)遏止电压 光电子的最大初动能随 入射光频率的增加而增加,与 入射光强无关。 只有U=Uc?0时,光电流 才为0,Uc称为截止电压。
2 eU c ? 1 mv m 2

遏 止 电 势 差

I

U c

O

U

??? Uc?
1 2

U c ? K? ? U 0

4.0

UC V
Cs

Na Ca

K是常数,U0 由阴极金属材料决定
2 mvm ? ek? ? eU 0 逸出功

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

1014Hz

?

3) 红限频率

对于每一种金属,只有当入射光频率? 大于一 定的红限频率?0 时,才会产生光电效应。 令U0= K?0 ,则
1 2 2 mvm ? eK (? ? ? 0 )

U0 ? ? 0 -- 光电效应的红限频率(或截止频率) ?? K 4)光电效应的瞬时性
只要入射光频率???0 ,无论多弱,光照射阴极

到光电子逸出这段时间不超过10-9s.

经典波动理论解释光电效应遇到的困难 经典波动理论认为光电子获得的能量与入射光振

幅(或光强)有关,还与入射光照射时间有关,而与
入射光频率无关。 不能解释:① 红限频率; ② 光电子初动能与入射光频率成线性关系; ③ 光弱时,光电子逸出也是瞬时的。

2. 爱因斯坦的光子理论

光辐射是真空中以光速 c 运动的粒子流,这些粒子称为光子。

E ? h? E h? 2 2 2 2 2 4 光子的质量 m ? ? 2 P c ? m0 c ? m c 2 c c h? h 光子动量大小 p ? mc ? ? c ?
光子的能量 按光子论,光强的表达式

I ? Nh?

N 为单位时间通过垂直光传播方向单位面积的光子数。

爱因斯坦光电效应方程
1 2

mv ? h? ? A
2 m

实验:

1 2

2 mvm ? eK? ? eU 0

金属中的电子吸收一个光子获得能量 hν,该能 量中一部分用于克服电子从金属表面逸出所需的逸 出功 A , 余下的便成为了光子逸出后所具有的初动能
1 2 m? m . 2

1 2

mv ? h? ? A
2 m

解释光电效应 1) 一个光子的能量可以立即被金属中的一个自 由电子吸收 ---- 瞬时性 2) 光强越大 ? 光子数越多 ? 光电子越多? 饱 和光电流越大 --- 入射频率一定时,饱和光电流和入 射光强成正比 光强相同,频率越大,光子数越少,饱 和光电流越小

3) 爱因斯坦方程表明:光电子最大初动能与入射光频 率成线性关系,而与入射光强无关。由动能定理有:

1 2 mvm ? e Uc 2
1 2 2 m

mv ? h? ? A
1 2

Uc ?

h A ?? e e

4) 入射光子能量必须大于逸出功 A ? 红限频率 ? 0 ?
2 mvm ? h? ? h? 0
( V) UUac( V ) 2.0 Cs

A h
Na Ca

1916年密立根实验 证实了爱因斯坦理论

1 eUa ? mvm2 ? h? ? A 2

h =

6.57?10-34

Js

1.0 0.0 4.0 6.0 8.0

10.0 ?(1014Hz)

9.2.2 康普顿效应
1922-23年 康普顿研究了X射线在石墨上的散射 1)实验装置
X 射线管
光阑 晶体

散射波长?

?0
石墨体 (散射物质)

j
探 测 器

X 射线谱仪

X 射线通过物质时向各个方向散射,散射的 X 射线中, 除了波长与原射线相同的成分外,还有波长较大的成分。

散射中出现 ? > ?

0

的现象,称为康普顿散射. 散射曲线的三个特点: 1.除原波长?0外出现了移向长 波方面的新的散射波长?.

2.波长的改变量随散射角的增 大而增大.

? ? ?0 ? 2?c sin

2

?
2

?c = 0.0241?=2.41?10-3nm(实验值)
称为电子的Compton波长.

2)用爱因斯坦量子理论解释康普顿散射

光子与电子弹性碰撞

光子动量 p ? E ? h? ? h

c c ? 能量守恒: h? 0 ? m0c 2 ? h? ? mc 2
动量守恒:

(1)
(2)

h? 0 h? n0 ? n ? mv c c

能量守恒: h? 0 ? m0c 2 ? h? ? mc 2 (1) 动量守恒:

利用余弦定理: 2 2 h ? h ? 2 ? 0? ? ?

h? 0 h? n0 ? n ? mv c c

(2)
? ? cos ? ?

?

? mv ?


2 mv c ? h ? ? h ? ? 2 h ? 0? cos ? ? ? ? 0? ? ? 2 2 2 2

? h? 0 ? ? h? ?? ?? ? 2? ? ? ?? c c c c ? ? ? ? ? ??

(3)

由(1)和(3)得

h 2? ?? ? ? ? ?0 ? ?1 ? cos ? ? ? 2?c sin m0c 2
----- X 射线具有粒子性

式中? c = h /m0 c = 0.0024 nm.

h? 0 ? m0c ? h? ? mc
2

2
2

(1)

2 ( E 2 ? p 2 c 2 ? E0 )

? mv ?

2

c ? ? h? 0 ? ? ? h? ? ? 2h2? 0? cos ? (3)
2 2

[( h? 0 ? h? ) ? m0c ] ? ( mc )
2 2

2 2

(h? 0 )2 ? (h? )2 ? 2h2? 0? ? 2m0c 2 h(? 0 ? ? ) ? m02c 4 ? m 2c 4
2 4 m 2v 2c 2 ? 2h2? 0? cos ? ? 2h2? 0? ? 2m0c 2 h(? 0 ? ? ) ? m0 c ? m 2c 4

m0c h(? 0 ? ? ) ? h ? 0? (1 ? cos ? ) 同除: m0ch? 0?
2 2



h 2? ?? ? ? ? ?0 ? ?1 ? cos ? ? ? 2?c sin m0c 2

3)康普顿散射实验的意义 a)支持了“光量子”概念,进一步证实了

? = h?
b)首次在实验上证实了爱因斯坦提出的“光量

子具有动量”的假设
P = E/c = h?/c = h/? c) 证实了在微观的单个碰撞事件中动量和能量 守恒定律仍然成立

康普顿获得1927年诺贝尔物理学奖

康普顿效应和光电效应比较 1. 康普顿效应:光子与静止自由电子碰撞, 完全弹性碰撞

光电效应:光子被束缚电子吸收,完全非弹性碰撞 2. 康普顿效应: X 射线或γ射线,光子能量大,相对论效应
碰撞后电子动能

Ek ? mc 2 ? m0c 2
1 Ek ? m? 2 2

光电效应: 可见光或紫外光,光子能量小,非相对论效应 吸收光子后电子动能

3. 康普顿效应: X射线波长0.01~0.1nm, 最大波长改变量为 ?? ? 2?c ? 0.0048 nm 与λ相差不大,现象明显。

光电效应: 光的波长100nm左右, ?? ? 0.005nm 康普顿效应不明显

例: X 射线光子能量为 0.60 MeV, 散射后波长变化了20%, 求: 反冲电子动能。 解:能量守恒

h? 0 ? m0c ? h? ? mc
2

2

反冲电子动能为:

hc hc hc 1 Ek ? h? 0 ? h? ? ? ? ( 1 ? ) ?0 ? ?0 1.2
1 1 ? Ek ? h? 0 ( 1 ? ) ? 0.60 ? ( 1 ? ) 1.2 1.2 ? 0.10 ( Mev )

9.3 物质的本性
9.3.1、微观粒子的波粒二象性 自从1905年爱因斯坦光子理论建立之后,人们第一次 看到波动性和粒子性这两个概念在光子这一客体上实 现了统一,光子既具有波动性同时也具有粒子性。德 布罗意受光子波粒二象性的启发,认为以前人们对光 的认识侧重于波性,忽略了粒子性;而对于像电子这 样的微观实体则过分强调实体的粒子性,却忽略了其 可能具有波动性。为此他提出:任何物体都伴随着波, 而且不能把物体的运动与波的传播分开。

以上两式简称德布罗意方程。它把粒子性的特征量与波的 特征量有机的统一起来,显示了粒子波粒二象性之间的本 质关系。由于普朗克常量 的值很小,因而与宏观粒子相 伴随的物质波长,认为趋近于零,即宏观粒子不显示波动 性。普朗克常量 可以看作微观量与宏观量的分界。德布 罗意方程对于包括光子在内的一切微观粒子都是有效的, 是一个普适性方程。 三、自由粒子的德布罗意波长 以速度v作匀速直线运动的粒子称为自由粒子。设它的静 止质量为 ,若其速度v远小于真空中的光速c时,伴随 它的德布罗意波长为

9.3.2 德布罗意的物质波理论
1. 德布罗意的假说
从自然界的对称性出发
光(波)具有粒子性 实物粒子也应具有波动性 1924.11.29德布罗意把题为“量 子理论的研究”的博士论文提交给 了巴黎大学。

1892-1987

具有一定能量和动量的物质粒子相联系的波的频 率和波长为:

E mc 2 ?? ? h h

h h ?? ? p mv

---- 德布罗意波

例:m = 0.01kg ,v = 300m/s 的子弹

h h 6.63 ? 10?34 ?? ? ? ? 2.21 ? 10 m P m? 0.01 ? 300
?34

答辩会上,佩林问:“这种波怎样用实验来证实呢?” 德布洛意:“用电子在晶体上的衍射实验可以做到。”

计算电子经过 U= 100V 的电压加速后的德布罗意波长. 1 电子动能 m? 2 ? eU 2

电子速度
德布罗意波长
h l = = mu

??

2eU m

h 2emU

=

1.23? 10U

9

= 0.123nm

电子波长与 X 射线波长相当,因此可以用晶体 衍射的方式验证物质波的存在。

2.德布罗意物质波的实验验证 戴维孙—革末实验(1927年)
抽真空

I

?
Ni 片 (单晶) G

I

U

U
C C C

h l = = p

h 2m0eU

当满足2dsin? = k?(k = 1,2,3?)时,可观察到 I 的极大。
U? k?h ? k ?C 2d sin? 2em0

当 U ? C,2C, 3C…时,

可观察到电流 I 的极大。

J.P.汤姆逊实验(1927)
电子束透过多晶铝箔的衍射
D

P
M

K

U

一切运动的实物粒子都 具有波动性和粒子性(波粒 二象性)

约恩逊实验(1961)
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验

质子、中子、原子、分子…也有波动性

德布罗意获1929年诺贝尔物理奖 戴维逊、汤姆逊共获1937年 诺贝尔物理奖
戴维逊 J.P. 汤姆逊

9.4 玻尔的氢原子理论
9.4.1 玻尔理论的基本假设
德布罗意波不代表实在的物理量的波动, 那么它是什么波?它的本质是什么?

回忆光的波粒二象性:
波动性: 某处明亮则某处光强大, 即 I 大。 粒子性: 某处明亮则某处光子多, 即 N大。 光子数 N? I ? E02 光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比。 玻恩1926年提出: 物质波描述了粒子在空间各处出现的概率(概率波)

原子的核式结构
1897 年,实验确 认了电子的存在, 测出电子的荷质 比e/me。

J.J. 汤姆逊

1898年, 提出了 “布丁模型”(也 被称为“西瓜模 型”)

1909年α粒子散射实验
金箔 ? 荧光屏 放射源 ? ? 粒子 显微镜

实验结果表明:

绝大部分粒子经金箔散射后,散射角很小( 2?~3?), 但有1/8000的粒子偏转角大于90 ?,甚至被反射回来。
汤姆逊模型无法解释? 粒子散射实验中的大角度散射

卢瑟福的核式结构模型(行星模型) 1911年,卢瑟福根据实验结果 提出了原子的“核式结构模型”(也 被称为“卢瑟福行星模型”) 原子的核式结构:

有一个带正电的中心体 -- 原子核, 所带正电的数值是原子序数乘单位正 电荷。原子核的半径在 10-15 到 10-14 米 之间。原于核外边散布着带负电的电 子。但原子质量的绝大部分是原子核 的质量。

卢瑟福

氢原子光谱

1885年 巴尔末

氢原子光谱中可见光区的波长满足:

n2 B ? 365.46nm ? ? B 2 (n ? 3, 4,5, 6 ) n ?4 1 4 1 1 ?1 1? ? ? ? ( 2 ? 2 ) ? R? 2 ? 2 ? ? B 2 n ?2 n ? 4 R ? ? 1.0973731534 ?107 m?1 称为里德伯常数 B

玻尔的氢原子理论
?1 1 ? 莱曼线系(m=1) ? ? R? 2 ? 2 ? (n=2, 3, 4?) 紫外 ?1 n ? 1 1 ? 巴尔末系(m=2) ? ? R? ? 2 ? 2 ? (n=3,4,5 ... ) 可见光 n ? ?2

1 ? ? 1 帕邢系 (m=3) ? ? R? 32 ? n 2 ? (n=4,5,6…? ) ? ? ?
布拉开系(m=4)

?1 1? ? ? R? 2 ? 2 ? ?4 n ?
1 1 ? ? 2? 2 n ? ?5

普丰德系(m=5) ? ? R? ?

? ? 红 ? (n=5,6,7 … ) ?外 ? ?区 ? (n=6,7,8…? ) ? ?

其它光谱可表示为两个光谱项之差

1 ? 1 1? ? ? ? R? 2 ? 2 ? ? T ?m ? ? T ?n ? --- 里兹组合原理 ? ?m n ?
经典解释遇到困难 1)加速运动的电子辐射的电磁波的频率是 连续分布的 这与上述氢 原子光谱线状分 布完全不符。

?e

?e

+

2)据卢瑟福的原子模型:绕核加速运动的电子,最 后被吸到核上,原子不稳定。但是实际上原子是非 常稳定的。

哥本哈根学派的领袖人物 1911年 获哥本哈根大学博士学位 1913年 提出玻尔的量子理论

1922年 获得诺贝尔物理奖
1925年 对应原理 1938年 提出原子核裂变理论 1943年 参与美国原子弹制造工作
“如果原子能掌握在世界上爱好 和平的人们手里,这种能量就会保障 社会的持久和平;如果他被滥用,就 会导致文明的滥用”,

丹麦物理学家玻尔 (1885 年10月7日出生)

玻尔的量子理论及其局限性
1)定态假设 原子能够而且只能够稳定地存在于离散能量 ( E1,E2 ? ) 相对应的一系列状态 ---- 定态(定态 能级概念) 2)跃迁条件(频率条件) 原子能量的任何变化,包括发射或吸收电磁辐 射,都只能以在两个定态之间的方式进行。 原子在两定态 ( En 〉Em )之间跃迁,

h? ? En ? Em

Em En



?

3)轨道角动量量子化假设 定态与电子绕核运动的一系列分立圆周轨道相对 应,电子轨道角动量只能是(h/2?) 的整数倍,即

h L ? rme v ? n ? n 2?
式中,n = 1, 2, 3, ?? 称为量子数

9.4.2 氢原子的轨道半径和能量
玻尔氢原子理论
成功之处: 定态能级
能级跃迁决定辐射频率

}

现代量子力学 重要概念

不足之处: 不能解释多电子原子的光谱 无法解释谱线的强度、宽度 仍然使用‘轨道’这一经典概念来描述电 子的运动

氢原子光谱规律的量子力学解释
在氢原子中,电子的势能函数为:

U (r ) ? ?

e

2

4?? 0 r

将势函数带入薛定谔方程:
2 ? ? 2 ? ? U ( r )?? ? r ? ? E? ? r ? ?? ? 2m ?

? 2? ?

2m
2

(E ?

e2 4?? 0 r

)? ? 0

解薛定谔方程,可得如下结论: 1. 能量量子化和主量子数 n me 4 1 En ? ? ? 2, 2 2 2(4?? 0 ) n

(式中 m 为电子质量)

1 ? 2 , n ? 1, 2, 3, 或 En ? ? 2(4?? 0 )a0 n

e2

4?? 0 2 ?10 其中玻尔半径 a0 ? ? 0.529 ? 10 m 2 me
n = 1 的状态叫氢原子的基态。

me 4 基态能量 E1 ? ? 2(4?? 0 )2

2

? ?13.6 eV

n > 1 的状态统称为激发态。

E1 En ? 2 n 氢原子能级特点:
激发态能量 ① En 随 n 的增加而增加 ;

主量子数 n Enl ? 6 5 -0.85eV 4 -1.81eV 3

布喇开系
帕邢系 巴耳末系(可见区)

② 相邻能级差值随 n 的增加 -3.39eV 2 而减小 ; ③ 当 n ? ?, En ? 0
氢原子开始电离。 使氢原子电离所需要的最小 能量叫电离能。 E ? 13.60 eV
1

-13.6eV 1

赖曼系(紫外区)

2. 轨道角动量量子化和角量子数(或轨道量子数) l

电子绕核运动角动量大小为

L ? l (l ? 1)
角量子数

l ? 0,1,2?(n ? 1).
副量子数

3. 轨道角动量空间取向量子化和磁量子数

ml

轨道角动量在外磁场方向的投影为 L ? m ? z l

磁量子数
B(z)

ml ? 0,?1,?2? ? l.
2?

B(z)

?
O ??
L ? l (l ? 1)?

?
? 2?
l =1
O
?? ? 2?

L ? 6?

l =2

9.5 薛定谔方程
9.5.1 不确定关系
海森堡在1927年提出微观粒子运动的基本规律 1)位置和动量之间的不确定关系 (测不准关系) 如果测量一个粒子位置的不确定范围是 ?x, 则同时测量其 动量也有一个不确定范围?px , 两者乘积不可能小于 ? 2 即

?x ? ?px ?
2

2
?y ? ?p y ? 2 , ?z ? ?pz ? 2

若三维空间有 ?x ? ?px ? ,

粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置和相应的动量 2) 能量和时间之间的不确定关系
?E ? ?t ? 2

单个电子或单色光的单缝衍射可近似说明不确定关系 位置不确定量 ? y (缝宽) 动量不确定量

?p y(衍射程度)
?

由衍射极小公式

?y

? ? p )

?p y

?y sin ? ? k ? ( k ? 1, 2, )

?y ? ?y sin ? ? ? sin ? 由 ?p y ? ptg? ? p sin ?
及德布罗意公式 p ? 得

h

?y ? ? p y ? h

h ? 精确推导 ?y ? ?p y ? 4? 2

?

} ?p ? ? sin?
h
y

不确定关系的物理意义 ?x ? ?px ?

2

?E ? ?t ?

2

1. 不确定关系说明经典手段对于微观粒子不适用

?x ? , 则?px ?; ?x ? 0, 则?px ? ?

是微观世界 ?px ? , 则?x ?; ?px ? 0, 则?x ? ? 固有规律.
2. 不确定关系说明粒子的不可能静止------零点能存在

3. 不确定关系给出了宏观物理与微观物理的分界线 ---- 普朗克常数 h

1? ? h ? E ? ? n ? ? h? 当n ? 0时E ? 2 2? ?

--- 零点能

9.5.2 波函数
1. 波函数

2p x) 单色平面波 y ( x .t ) = A cos(2p n t l 2p
复数形式

y ( x.t ) = Ae

i(

l

x- 2 p n t )

= Ae

x i 2p ( - n t ) l

一个沿x方向作匀速直线运动的自由粒子(能量为E,
动量为px)具有波粒二象性: 由德布罗意关系式

= Ae i ( px x- Et )/ (三维)自由粒子波函数 ? ( r .t ) ? Ae i( p?r ? Et ) / ? Ae ? i ( Et ? p?r )/ y ( x.t ) = Ae

i

2p ( px x- Et ) h

h px = l

E = hn

代入上式

2. 波函数的玻恩统计诠释

一个微观客体在时刻 t 状态,用波函数 ? ? x , y, z , t ? (一般是复函数 ) 完全描述.

波函数 ? ? r , t ? 本身没有直接的物理意义。它并不 像经典波那样代表什么实在的物理量的波动,而其模方

(r , t )y (r , t ) 表示 t 时刻微观粒子,在空间 ? 点出现的相对概率密度。 r ? ? 式中:? ?r , t ? 是空间坐标 r 和时间坐标t的函数, ?
*

y (r , t ) = y

2

? ? ?r , t ? 是其复共轭。

y (r , t ) = y

2

*

(r , t )y (r , t )
概率波

波函数 ? 是概率振幅,简称 概率幅

C? 描述同一个状态,因为,对于概率分布
来说,重要的是相对概率分布。 与经典波不同 波函数还有一个相位因子的不确定性 e ? i? ?

? 概率密度(e ?)(e ?) ? ??

? i?

? i?

?

?

3. 统计诠释及其它物理条件对波函数提出的要求 1)空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值 式中 d 3 r ? dxdydz ?0 是任意有限体积元 2 2) 要求 ? ? r , t ? 单值 保证概率密度在任意时刻都是确定的.
?0
3 ? r , t d r ? 有限值 ? ? ? 2

3)波函数的连续性
势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数是连续的. 4) 粒子在空间各点的概率的总和为 1 ---- 波函数归一化条件
?0
3 ? r , t d r ? 1 满足该条件为归一化波函数. ? ? ? 2

波函数应满足的标准条件(物理要求) 连续性

有限性
单值性

? ? ? ? ?

以后会看到,有些情况下能量 量子化就是源于这些条件的限制.

归一化条件

9.5.3 薛定谔方程的推导
薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 地位同经典物理的牛顿定律 1926年 瑞士联邦工业大学物理讨论会

《量子化就是本征值问题》

薛定谔 Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学 获1933年诺贝尔物理学奖

薛定谔方程是利用经典物理,用类比的办法得到的, 开始只不过是一个假定,尔后为实验证实。 1. 质量为 m的自由粒子, 在非相对论下能量和动量的关系 p2 E? 2m E p 波的角频率 ? ? 波矢 K ? 质量为m,动量为p,能量为E的自由粒子沿x轴运动,其波函数
?i 2? ( Et ? px ) h

?( x .t ) ? ? 0e

? ? 0e

? i ( Et ? px )/

对该波函数求时间和空间的微商 ?? p ? 2? p2 ?? iE ?i ? ?? 2 ? ?? ? 2 ? x ?x ?t
p2 利用在非相对论下能量和动量的关系 E ? 2m

可得

? 2? ?? 一维运动自由粒子 ? ? i 2m ?x 2 ?t 的含时薛定谔方程
2

?2 ?2 ?2 ?2 2 推广到三维 ? ? ? ? ? ?x 2 ?x 2 ?y 2 ?z 2
2 ? i ?( r , t ) ? ? ? 2 ?( r , t ) 三维自由粒子薛定谔方程 ?t 2m

2 ? ? ?r ,t ? ? ? ? 2? ? r , t ? 自由粒子的薛定谔方程: i ?t 2m

2. 在势场EP ? r , t ? 中运动的粒子

p2 E ? Ek ? E p ? ? Ep 2m

? 2? p2 一维 ?? 2 ? 2 ?x
2

?? iE ?? ? ?t
势场中一维运动粒子的 含时薛定谔方程

2 ? ? ?? 可得 ? ? E p ( x , t )? ? i 2 2m ?x ?t

?? ? ? ? E p ( r , t )? ? i 三维 ? 2m ?t
2 2

三维势场中运动粒子 的含时薛定谔方程

2 ? ? ? 2 i ? ? r , t ? ? ?? ? ? EP ? r , t ? ? ? ? r , t ? ?t ? 2m ?

讨论:

1) 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设(原理);
2) 薛定谔方程是线性齐次微分方程,保证了态的线性

叠加性在时间进程中保持不变。
3) 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程; 知道初始时刻波函数,就可以确定以后任何时刻 的波函数.

定态薛定谔方程

EP ? r , t 不显含时间 ?

? 2 2 ? ? i ? ? r , t ? ? ?? ? ? EP ? r , t ? ? ? ? r , t ? ?t ? 2m ?

则薛定谔方程的表达式
2 ? ? ? 2 i ? ? r , t ? ? ?? ? ? EP ? r ?? ? ? r , t ? ?t ? 2m ?

存在特解:

??r , t ? ?? ?r ? f ?t ?

代入薛定谔方程,得:
2 ? ? ? ? ? 2 ? ? r ? ?i f ? t ?? ? f ? t ? ?? ? ? E P ? r ? ?? ? r ? ? ?t ? ? 2m ?

? d 1 ? 2 2 f ?t ? ? ? ? E P ? r ? ?? ? r ? ?? f ? t ? dt ? ? r ? ? 2m ? i

?E

令上式两边同时等于一常数 E , 则 d df ( t ) ? i i f t ? Ef t ?? ?? 左边: ? Edt dt f(t )

?
右边:

f ?t ? ? e

? iEt





? 2 2 ? ? ? E P ? r ? ?? ? r ? ? E? ? r ? ?? ? 2m ?
i ? Et

(定态薛定谔方程)
定态波函数 E代表粒子的能量

薛定谔方程的特解为:

? ( r , t ) ? ? ( r ) f ? t ? ? ? ( r )e

2 ? ? 2 ? ? ? E r ? p ? ? ?? ? r ? ? E? ? r ? ? 2m ?

定态薛定谔方程

?依赖于 E P ( r ) 的具体形式 ?从物理上讲 只有一些特定的E 值才能使定态薛定谔方 程的解满足波函数的物理条件 即单值 有限 连续 归一 这就意味着能量只能取分立的值--量子化 ?特定的E值称为能量本征值

?各E值所对应的 ? ( r ) 叫能量本征函数
?定态: 能量取确定值的状态 ?定态波函数:

? E (r , t ) ? C ? E (r )

2

2

? E (r , t ) ?? E (r )T (t ) ? C? E (r ) e

i ? Et

无限深势阱中粒子的运动
量子力学解题的一般思路 1.由粒子运动的实际情况 正确地写出势函数U(x) 2.代入定态薛定谔方程

3.解方程(考虑波函数的性质)
4.解出能量本征值和相应的本征函数 5.求出概率密度分布及其他力学量 是实际情况的极端化和简化 方势阱

U( x) ? ?
金属中的电子

U( x) ? 0

一维无限深方势阱
1. 写出势函数

U ( x) ?

0 ? 0? x ? a ? ? ? x ? 0, x ? a ?

U ( x)

2.代入定态薛定谔方程,解方程
2 ? ? d2 ? U ? x ? ?? ? x ? ? E? ? x ? ?? 2 ? 2m dx ? 势阱外 ? x ? 0, x ? a ?

0

a x

2 ? ? d2 ? ? ?? ? x ? ? E? ? x ? ?? 2 ? 2m dx ?

(有限条件)

? ( x) ? 0

势阱内
2

?0 ? x ? a?
d 2? 2mE ? 2 ? ?0 2 dx d 2? 2 ? k ? ?0 2 dx
式中 A, φ 为待定系数

d 2? ? ? E? 2 2m dx
令k ? 2mE ? p



其通解 ?

? x ? ? A sin ? kx ? ? ?

单值,连续条件
1) ? ? 0 ? ? 0, 要求

在x ? 0, a:? ? 0? ? 0, ? ? a ? ? 0

A sin ? ? 0
A sin ? ka ? ? ? ? 0

2) ? ? a ? ? 0, 要求

? (0) (1)
k?

?0

? ?0
A sin( ka ) ? 0 ka ? n?,n ? 0,1, 2,...
2 2 2 ? n n? ? E ? En ? ? 2 2 ma a

(2) ? (a ) ? 0

2mE

本征能量

与本征值 En 对应的本征函数 由归一化条件

? n? ? ? n ? x ? ? A sin ? x? ? a ?

?

a

0

? n ? x ? dx ? 1 A ? 2 / a
2

2 n? ?? n ? x ? ? sin( x ) ,n ? 0,1, 2... a a

势阱内 ?0? x? a ?

阱外

x ? 0, x ? a ? n ? x ? ? 0
2 2

? n ? x? ?
? n ( x)

2 n? sin( x) a a
? 4 ( x)

2 2 n? x ?( x , t ) ? [? n ( x )] ? sin a a
[? n ( x )]
2

[? 4 ( x )]2

E4
? 3 ( x)

[? 3 ( x )]2

E3

E2

? 2 ( x)
? 1 ( x)

[? 2 ( x )]2

E1
0 a

X

[? 1 ( x )]2

X
a

0

讨论: (1) 无限深方势阱中粒子能量量子化 n是量子数,En是能量本征值,又称能级. (2) 无限深方势阱粒子能谱为离散能谱,能级分布不均匀 2 2 ? ? n越大, 能级间隔越大。 E1 ? ? ? ? 基态 其余称为激发态 2 2ma (3) 势阱中粒子波函数是驻波,基态除 x=0, x=a 无节点. 第一激发态有一个节点, k 激发态有 k=n-1个节点. (4) 概率密度分布不均匀 当 n? ? 时过渡到经典力学 (5)一维无限深势阱中粒子的波函数是正交归一的.

势垒、势垒贯穿
一维方势垒

U ( x)

U0

0, x ? 0, x ? a
U ( x) ?

o

U0 , 0 ? x ? a
U ? U0

a x

粒子的能量

粒子将部分被势垒反射, 部分 穿透势垒, E ----- 隧道效应或势垒贯穿

U0

a

9.6 激 光 激光是基于受激辐射放大原理产生的一种具有有高亮 度、方向性好、单色性高及相干性强等一系列优点的相干
光辐射。激光器是一种新型光源,它的出现使古老的光学 许多光学分支如全息光学、光学信息处理、纤维光学、非

发生了深刻的变革,从而为现代光学开辟了新的广阔天地。

线性光学等像雨后春笋相继出现,在现代科学技术、军事、

医学、农业等各领域都有着广泛的应用。
一、氦-氖激光器

能够产生激光的装置叫做激光器。 氦-氖激光器是一
种研究得比较成熟的气体激光器,它的工作物质是氦-氖混
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合气体。氦-氖激光器发出的激光的主要部分是红色的可

见光, 图13-26是氦-氖激光器的简单结构,主要部件有
放电管、电极对、反射镜等。 二、原子的跃迁

一般地说,原子运
动状态的变化与光相关

联的有三种情况:自发
辐射跃迁、受激辐射跃 迁、受激吸收跃迁。三 种跃迁的特点各不相同。
氦-氖激光器(内腔式)
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三、激光的获得 在光与物质的相互作用过程中,一般地三种跃迁都

同时存在,受激辐射与受激吸收两个跃迁过程是等概率的。

对于这两个跃迁过程究竟哪一个过程能占优势,这要看两
个能级上原子总数N1和N2的大小,如果N2<N1,则过程以 吸收跃迁为主,物质的光作用表现为光的吸收,反之,如 果N2>N1,则受激辐射将成为优势过程,物质在光的作用 下即可以获得能够感知的激光。统计理论指出,在热平衡

的情况下,原子按能量的分布规律服从玻尔兹曼统计分布
律,其数学式为
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N ? N0e
k ? 1.38 ?10?23 J K

?

E kT

式中,N为分布在能级E上的原子总数,N0为常数,

为玻耳兹曼常数, T 为绝对温度。于是有
? E2 kT

N2 ? N0e

N1 ? N0e


?

E1 kT

N2 ?( E1 ? E2 ) ?e N1 kT
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